Mario Livio, La proporción áurea. La historia de phi, el número más enigmático del mundo. Ariel, Barcelona, 2006, 302 páginas (traducción de Daniel Aldea Rossell e Irene Musas Calpe). Lamberto García del Cid, La sonrisa de Pitágoras. Matemáticas para diletantes. Debate, Barcelona, 2006 (300 páginas). Adrián Paenza, Matemática, ¿estás ahí? Sobre […]
Mario Livio, La proporción áurea. La historia de phi, el número más enigmático del mundo. Ariel, Barcelona, 2006, 302 páginas (traducción de Daniel Aldea Rossell e Irene Musas Calpe).
Lamberto García del Cid, La sonrisa de Pitágoras. Matemáticas para diletantes. Debate, Barcelona, 2006 (300 páginas).
Adrián Paenza, Matemática, ¿estás ahí? Sobre números, personajes, problemas y curiosidades, RBA Libros, Barcelona, 2006, 253 páginas.
Bernardo Recamán, Las nueves cifras y el cambiante cero. Divertimentos matemáticos. Gedisa Editorial, Barcelona, 2006, 126 páginas.
David Berlinski, Ascenso infinito. Breve historia de las matemáticas. Debate, Barcelona, 2006 (traducción de Rubén Díaz Sierra)
Charles Seife, Cero. La biografía de una idea peligrosa. EllagoEdiciones, Castellón, 2006, 248 páginas (traducción de Simone Zimmermann Kuoni).
Antonio Córdoba Barba, La saga de los números. Número, conjuntos y demostraciones. Crítica, Barcelona, 2006, 295 páginas.
Todo parece indicar que, para fortuna nuestra, la divulgación matemática están en auge en el país. De la misma forma que consideramos que una persona culta debería saber, sin ser necesariamente experto en su obra, quienes fueron Said, Auden, Russell, Papasseit o Cernuda, y debería disfrutar de la buena literatura, no parece un desvarío afirmar que igualmente aquí, en el amplísimo ámbito de las matemáticas, en este campo aparentemente tan abstruso y tan para pocos, hay goce, saber alcanzable, diversos puntos de interés, aunque el esfuerzo sea también necesario como lo es en cualquier asunto que valga realmente la pena. Además, y por si fuera conveniente alguna referencia nominal que hiciera tambalear algún prejuicio asentado, no tendría que olvidarse que incluso en tradiciones marcadamente políticas como el marxismo sus grandes clásicos fueron cultivadores o aficionados competentes al tema. Recordemos las más de mil páginas que conforman los Manuscritos matemáticos de Marx o los diversos capítulos -de desigual pero no nula fortuna- del Anti-Dühring engelsiano o incluso en la tan criticada Dialéctica de la Naturaleza. Intentemos, pues, un breve comentario sobre algunos ensayos de formación, de divulgación o de simple y sano divertimento matemático que se han editado en estos últimos meses en nuestro país.
La proporción áurea de Mario Livio es una aproximación a la historia del número phi. La sección áurea de un segmento es un punto que lo divide en dos subsegmentos no iguales, de tal forma que la proporción entre la totalidad del segmento y su subsegmento mayor es idéntica a la existente entre este último y el subsegmento menor. Phi es el valor de esta proporción: 1,6180339887…, un número irracional no expresable mediante una fracción. Mario Livio discute en su trabajo las especulaciones que se han originado en torno a este número y a esta proporción llamada «áurea» de forma significativa.
Aparentemente lo que concede un fuerte atractivo a este valor es su aparición en lugares insospechados. Cojamos una manzana, por ejemplo; sus semillas están ordenadas formando un pentagrama. Cada uno de los triángulos isósceles que configuran la estrella de cinco puntas tiene la propiedad de que la proporción de la longitud del lado mayor respecto al lado menor, la base del triángulo, es… el número phi. Pero no sólo en manzanas aparece la sección y phi sino en otros insospechados lugares como, por ejemplo, en el mismísimo Partenón. Desde la teoría de la estética y desde la historia del arte, se ha sostenido que el templo debe su armonía y belleza a la presencia de phi: la altura de la fachada -desde lo alto del tímpano hasta el final del pedestal bajo las columnas- se divide en proporción áurea por el alto de las columnas. Y a partir de «este resultado» se generalizada afirmando que el valor de phi es indicio de proporción, belleza, armonía en el Arte, y que de hecho este canon estético fue usado profusamente por pintores y artistas renacentistas. Mario Livio argumenta, en cambio, que probablemente el primer artista y analista de arte importante en utilizar la proporción fue Sérusier, ya en el siglo XIX, y que luego fue usada por Juan Gris, Jacques Lipchitz o Gino Severini. El ensayo de Livio contiene además interesantes reflexiones sobre la efectividad de las matemáticas, sobre el lenguaje y los teoremas matemáticos con los que parece poder descubrirse las auténticas leyes de la naturaleza.
La sonrisa de Pitágoras es, fundamentalmente, un libro de divulgación, escrito, según el propio autor, «para diletantes», que recorre temas muy diversos: historia de las matemáticas, teoría de números, lógica, estadística, biografías de matemáticos. Divertido en algunos momentos, informativo en otros, parece en algunos casos una suma de trabajos o relatos varios, unidos sin demasiado tacto, con un uso excesivo del «copiar y pegar». Por ejemplo, no se entiende muy bien el sentido de un apartado dedicado a las «Mujeres matemáticas» que contenga una aproximación a Sonia Kovalevskai en cinco líneas o a la gran Emmy Noether en apenas nueve. Hay, además, algunos ejemplos, algunos «chistes matemáticos» de muy mal gusto, que el autor podía haberse evitado en beneficio suyo y en el de los lectores y lectoras algunas de las cuales pensarán, con razón, que no vale la pena proseguir. Éste, por ejemplo: «-¿Cómo puedes saber si tu novia es buena con las matemáticas? -Examínala, sustráele la ropa, súmala a tu dormitorio, divide sus piernas y dale una buena raíz» (p. 259) [la cursiva es mía]. No es la única vez. En otros casos, la aparente heterodoxia lingüística se expresa del modo siguiente: «K. Gödel se convirtió en un viejo chiflado y patético. Al final de sus días, se volvió paranoico y se dejó morir de inanición» (p. 250).
Matemática, ¿estás ahí?, lleva incorporado un breve mensaje de edición: «El gran bestseller en Argentina de los últimos años». Si el anuncio no es mera publicidad engañosa, este cuidado ensayo es una prueba más de la excelente salud cultural y política de la ciudadanía argentina de estos últimos años. Su autor, Adrián Paenza, doctor en matemáticas y profesor asociado de la Universidad de Buenos Aires, donde ejerce la docencia de forma regular, es, según parece, un reconocido periodista político y deportivo que ha escrito su primer libro a los 57 años… pero ha dado en el clavo. Bien escrito, divulgación sencilla pero bien construida -véase, por ejemplo, su demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 (pp. 44-48)-, el libro es un intento de llegar a una ciudadanía amplia., sin muchos conocimientos previos, informando correctamente, con excelentes páginas sobre temas no usuales (el papel de la estimación en matemáticas por ejemplo, págs. 137-152), con una magnífica resolución del acertijo de Einstein (pp. 167-168; respuesta pp. 237-240) y con una definición actual e interesante de la matemática (pp.192-197) como ciencia que examina patterns abstractos, y con ejercicios bien buscados y muy bien resueltos, respetando siempre al lector sea cual sea sus conocimientos iniciales. Por lo demás, con escasas erratas: en la página 48 falta el símbolo de raíz y el número pi; lo mismo en la página 84, con p por pi.
Acaso, en ocasiones, demasiado escueto (así, en la página 126, al hablar sobre Türing y las máquinas) y con una sensibilidad social que se agradece: «El problema reside en tener los medios económicos que permiten descubrirlas [habilidades, destrezas] y un entorno familiar que las potencia y asimile. Yo lo tuve, y eso no me transformó en un prodigio, sino en un privilegiado» (pp. 215-216).
Las nueves cifras y el cambiante cero de Bernardo Recamán, autor de otro exitoso libro titulado A jugar con números, es un conjunto de divertimentos y acertijos aritméticos y geométricos que toma su título de un verso de Borges: «Lunas, marfiles, instrumentos, rosas,/lámparas y la línea de Durero/ las nueves cifras y el cambiante cero,/debo fingir que existen esas cosas». Recamán expresa así la finalidad de su libro: «Como suele ocurrir con la persona que es aficionada a la música clásica y asiste a un concierto, quien adquiere un libro de acertijos espera encontrarse con obras de varios de su compositores favoritos y reconocer ideas y temas clásicos juntos a composiciones contemporáneas y novedosas. Esa es la mezcla que hoy ofrezco al lector de este libro» (p. 12). Los acertijos presentados tienen dificultades diversas: algunos son sencillos, incluso triviales, pero otros son extremadamente complejos. Un ejemplo: un número de Niven es un número divisible por su suma digital (27 es un número de Niven porque es divisible por 9 (2 +7), mientras que 26 no lo es, dado que no es divisible por 8). El problema propuesto consiste en encontrar cuatro números consecutivos que sean números de Niven. El autor da pistas para algunas soluciones y presenta sus resultados, con nuevos problemas, en las páginas 81-126 del volumen.
El Ascenso infinito de David Berlinski está compuesto de 10 capítulos donde el autor se aproxima a temas como la geometría analítica, la no euclidiana, la teoría de conjuntos o el teorema de incompletud gödeliano. Libro bien escrito, acaso en ocasiones le pierde su intención «contracultural», pero tiene sin duda páginas impecables. Por ejemplo: las dedicadas a la demostración de que e elevado al producto de i por pi más la unidad es igual a 0 (pp. 99-103). Por lo demás, el capítulo dedicado a la teoría de grupos es espléndido en sus ideas centrales que es donde Berlinski, más allá de demostraciones específicas, pone todo el énfasis. Eso sí le pierden, y no es tema baladí, algunas descripciones matemático-masculinas con aires de gracia estúpida. Así, al dar cuenta de una clase de Cantor en Berlín, Berlinski escribe: «Sentadas en sus pupitres, veinte jóvenes mädchens[señoritas], con almidonadas pecheras ocultando sus incipientes senos, esperan nerviosas. Era por encima de todo una escuela para chicas, las hijas de los hombres de negocios berlineses…» (p. 162). La cosa prosigue en el mismo tono. Debe ser una enfermedad m-m (masculina y matemática) contagiosa.
Cero es un magnífico libro cuyo autor, Charles Seife, se formó con matemáticos de la talla de Andrew Wiles, el autor que resolvió la conjetura de Fermat sobre ternas enteras y exponentes mayores que 2. Es cierto que el libro debería haberse titulado más bien «el cero y el infinito» y que, curiosamente, sin dejar de lado temas y cuestiones estrictamente matemáticas, Cero brilla con fuerza admirable cuando se introduce en ámbitos físico-matemáticos, con interesantes apuntes sobre historia de las matemáticas (por ejemplo, con una cuidada presentación de la teoría de las fluxiones de Newton en las páginas 122-129). Su presentación no formal de la teoría de la relatividad, de la mecánica cuántica, de la teoría de las cuerdas o del Big Bang es magnífica. Sin apenas errores (yo he detectado tan sólo uno en la nota a pie de la página 209), nos da además un divertido regalo como apéndice A: «¿Animal, vegetal o ministro?» (pp. 225-227). Además, curiosamente, es el primer libro de divulgación científica que conozco donde se cita sin ironía ni sarcasmo un pasaje de Engels del Anti-Dühring (p. 113).
Acaso podría comentarse que los gráficos que acompañan las explicaciones son en general necesarios menos en algún caso, como en la presentación de las coordenadas cartesianas de la página 102, y que probablemente hubiera sido conveniente alguna nota explicativa en los gráficos sobre epiciclos y deferentes de las páginas 98-99.
La saga de los números es probablemente, de los volúmenes citados, el que presenta mayor dificultad matemática. Su autor, Antonio Córdoba Barba, es catedrático de Análisis Matemático en la UA de Madrid y fundador de la Revista matemática iberoamericana. El volumen está compuesto de nueve capítulos de dificultad desigual sobre los naturales, enteros, racionales, reales, complejos, ordinales, cardinales, además del capítulo inicial sobre el lenguaje de las matemáticas y el final sobre Álgebra, amén de un curioso prólogo, basado en artículos previamente publicados, titulado «La vida es un número». Cada uno de los capítulos lleva incorporado un conjunto no menor de ejercicios, donde curiosas cuestiones lingüísticas no están excluidas (véase, por ejemplo, las de las páginas 36-37). Bien editado, correctamente explicado en general, acaso podría haberse incorporado un glosario y una bibliografía comentada y acaso, en muy pocos casos, algunos resultados o algoritmos podrían haberse obviado. Por ejemplo, cuando el autor presenta resultados muy triviales sobre la suma o producto de fracciones que están alejados años-luz, en salto casi inalcanzable, de resultados que aparecen explicados casi a continuación.
El lector con preparación matemática media puede adentrarse en la mayoría de las demostraciones que exigen, eso sí, papel y lápiz en algunos casos. Si la pereza hace acto de presentación, los resultados pueden entenderse aunque no se siga desarrollo minuciosamente.
Córdoba Barba recuerda al final del volumen un interesante aforismo: «Toda demostración que se precie ha de disponer siempre de un tiempo de parada oportuno». Las reseñas también.