Marcus du Sautoy, La música de los números primos. Acantilado (Quaderns Crema), Barcelona, 2007, 526 páginas. Traducción de J. Miralles de I. Llobet (edición original 2003). Doce capítulos. A lo largo de ellos, los Elementos, la infinitud de los números primos, Ramanujan, Gottinga, Gauss y la historia de su diario matemático, Princeton, […]
Marcus du Sautoy, La música de los números primos. Acantilado (Quaderns Crema), Barcelona, 2007, 526 páginas. Traducción de J. Miralles de I. Llobet (edición original 2003).
Doce capítulos. A lo largo de ellos, los Elementos, la infinitud de los números primos, Ramanujan, Gottinga, Gauss y la historia de su diario matemático, Princeton, Hilbert, Gödel, primos de Mersenne, Euler y los puentes de Könisberg, el caos cuántico, la era de los PC, la conjetura de Goldbach y su verificación para los primeros 400 billones de números naturales, Riemann, la demostración de Wiles, la broma de Bombieri y así siguiendo. Algunas historias de matemáticos y una gran historia sobre los números primos.
Dos de las primeras. La primera la cuenta Du Sautoy en el capítulo X, el dedicado al desciframiento de números y códigos. En 1903, Frank Nelson Cole, profesor de matemáticas de la Universidad de Columbia, en Nueva York, pronunció una conferencia con ocasión de la reunión anual de la American Mathematical Society. Sin hacer dicho palabra, Cole escribió un número de Mersenne en la pizarra. El 2 elevado al exponente 67 menos la unidad. Luego escribió dos números enormes: 193.707.721 y 761.838.257.287. En medio de ellos dibujó el signo del producto. Finalmente, escribió el signo de igualdad entre ambas expresiones. A continuación, sin decir nada, tomó asiento.
Teatro. Lo suyo fue puro teatro. Pero los asistentes estuvieron encantados de esa puesta en escena. Se levantaron inmediatamente en una explosión de entusiasmo infrecuente en ámbitos de encuentro matemáticos. Desde 1876 se sabía que ese número de Mersenne, un número que tiene 28 cifras, no era un número primo sino el producto de dos números menores. Pero nadie sabía aún cuales eran. Estábamos en el inicio de la era de los PC-partidos pero aún no era en la era de los PC-personal computer. Cole dedicó las tardes dominicales de tres años de su vida para realizar esa descomposición. Su hazaña no quedó en el olvido. En 2000, en un obra teatral del off-Brodway, El teorema de las cinco muchachas histéricas, una actriz rindió homenaje a Cole resolviendo el problema de la factorización del número en cuestión. La comedia narra un viaje al mar de una familia matemática. El padre está horrorizado, lamenta la inminente mayoría de edad de su hija. No teme que sea entonces lo bastante mayor para huir con su enamorado, que no es ningún matemático por cierto, sino porque cumplirá 18 años. 18 no es ningún número primo, 17 sí que lo es.
La segunda historia tiene que ver también con las matemáticas pero el segundo factor, esta vez, es el compromiso político. Fundado como empresa no pública, el Institut des Hautes Études Scientifiques se inauguró en París en 1958. Pretendía ser el Instituto francés de Estudios Avanzados. Uno de los primeros profesores del Instituto fue un joven profesor e investigador de matemáticas: Alexander Grothendieck. Su padre había participado en la revolución bolchevique y había sido brigadista en la guerra de España. Simpatizaba con los anarquistas. Siguiendo los pasos de André Weil, el hermano de Simone, Grothendieck puso a punto un nuevo lenguaje para la geometría y el álgebra. El nuevo lenguaje no era fácil de aprender. El mismo Weil quedó desconcertado ante el mundo abstracto que proponía el joven investigador. El Institut des Hautes Études se convirtió, con Grothendiek, en la sede del proyecto Bourbaki.
El despacho de Grothendieck en el Instituto no tenía más adornos que un óleo que representada a su padre pintado por un compañero suyo en uno de los campos donde estuvo internado antes de ser trasladado a Auschwitz donde murió en 1942. Años más tarde, Grothendiek impartió un breve curso de geometría algebraica abstracta en la jungla de Vietnam del Norte. Allí había sido evacuada la Universidad de Hanoi tras los bombardeos norteamericanos. Pero en 1970, a los 42 años, Grothendiek se marchó del Instituto. Descubrió entonces que una parte de la financiación privada del Instituto provenía de fuentes militares. Le bastó con eso. Se sentía como un mandarín matemático al servicio de los poderes establecidos, conjetura Du Sautoy.
Empero, la gran historia en torno a la que gira esta magnífica música matemática tiene que ver con una conjetura matemática. Du Sautoy la presenta del modo siguiente. Euclides, o quien fuera, demostró que los números primeros siguen hasta el infinito. Gauss planteó la hipótesis de que seguían un orden aleatorio, como si los primos hubieran sido elegidos lanzando una moneda. Pero Riemann fue aspirado, según Sautoy, «por un agujero que lo condujo a un espacio imaginario donde los números primos se convierten en música» (p. 507). En este espacio cada punto a nivel del mar hacía sonar su nota. Se trataba de interpretar el mapa de su tesoro y descubrir la ubicación de cada punto a nivel de mar. Riemann descubrió que aunque el caos asomaba, los puntos del mapa, de hecho, estaban ordenados. En lugar de estar situados de cualquier modo, estaban todos situados sobre una misma recta. Su hipótesis había irrumpido en el mundo de la ciencia. Para siempre. Fue en 1859 cuando Bernhard Riemann sugirió la hipótesis que parecía resolver un antiguo problema. Pero no consiguió demostrarla.
Se cuenta la siguiente anécdota sobre ella. De todos los retos que Hilbert propuso para ser demostrados en el siglo XX, el octavo ocupaba un lugar especial en su corazón matemático. Un mito germánico sobre el emperador Barbarroja señala que tras su muerte tras la tercera cruzada, se difundió la leyenda de que en realidad continuaba con vida. Yacía dormido en una cueva del monte Kyffhäuser. Barbarroja despertaría cuando Alemania lo necesitara. Dejemos el obvio tufillo de la leyenda y prosigamos. Un alumno, en la primera década del XX, preguntó a Hilbert un día: «Si usted, como el emperador, despertara dentro de 500 años, ¿qué sería lo primero que haría?». No lo dudó: «Preguntaría si alguien ha demostrado ya la conjetura de Riemnann», respondió Hilbert. Falta tiempo para el medio milenio pero nadie la ha demostrado hasta la fecha.
La hipótesis es considerada uno de los siete problemas del milenio . Matemáticamente es una conjetura sobre la distribución de los ceros de la denominada función zeta de Riemann . Afirma la hipótesis que las partes reales de los ceros de la llamada función zeta son siempre a = 1/2, es decir, que están alineados. Los ceros no triviales deberían encontrarse en la línea crítica 1/2 + i. t donde t es un número real e i es la unidad imaginaria.
La hipótesis es uno de los problemas abiertos más importantes en la matemática contemporánea. Se ha ofrecido un premio de 1.000.000 de $USA por el Instituto Clay de Matemáticas a la persona que descubra una demostración. Aunque la mayoría de los matemáticos piensan que la conjetura es cierta, algunos, pocos, se han mostrado escépticos ante ella. J. E. Littlewood y Atle Selberg son dos ejemplos, aunque el escepticismo de Selberg ha disminuido desde su juventud. En un artículo en 1989 sugirió que una afirmación análoga debe ser cierta para una clase mucho más amplia de funciones, para la llamada clase de Selberg.
La música de los números primos, por lo demás, no apabulla. No tiene fórmulas. Mejor dicho, tiene una sola fórmula. Está al final de la página 323. Es un producto de dos miembros. El segundo es la diferencia entre la unidad y nueve cuadrados. Pueden saltársela. En la página siguiente hallarán una explicación de la idea. Por lo demás, apenas hay formulaciones arriesgadas ni matematismo extremo. Una conjetura sobre la proporción áurea y su omnipresencia (página 49) merecería discusión.
La edición de La música, como suele ocurrir en los libros de El Acantilado, es magnífica. El índice analítico y nominal es excelente y buena ayuda para el lector.
De la misma forma que podemos gozar de la música sin saber leerla, podemos gozar de esta música matemática sin conocer apenas el lenguaje en que está escrita. Aunque perdamos notas y páginas, como nos perdemos a veces frases musicales. Si no se le creen, si creen que es imposible, prueben y vean. No saldrán decepcionados.