Rebecca Goldstein, Gödel. Paradoja y vida. Antoni Bosch editor. Barcelona, 2006, 259 páginas, traducción de Víctor Úbeda (edición inglesa 2005). Rebecca Goldstein abre su ensayo con una cita de Kurt Gödel (1906-1978) de noviembre de 1972: «Todo error obedece a factores externos (tales como la emoción y la educación); la razón […]
Rebecca Goldstein, Gödel. Paradoja y vida. Antoni Bosch editor. Barcelona, 2006, 259 páginas, traducción de Víctor Úbeda (edición inglesa 2005).
Rebecca Goldstein abre su ensayo con una cita de Kurt Gödel (1906-1978) de noviembre de 1972: «Todo error obedece a factores externos (tales como la emoción y la educación); la razón por sí sola no yerra». No logro estar convencido de que sea posible demostrar una proposición así, pero confío que la emoción que he sentido al leer esta documentada aproximación a la vida y obra de Gödel no me haga errar en el juicio.
Dicho sea como pórtico. Kurt Gödel falleció el 14 de enero de 1978. Según el certificado médico, murió de desnutrición e inanición. Fue enterrado el 19 de enero en el cementerio de Princeton. La ceremonia fue breve e íntima. Dos semanas más tarde, el 3 de febrero, se celebró un funeral en el Instituto de Estudios Avanzados presidido por André Weil, el gran matemático bourbakiano hermano de la autora de Echar raíces. Los discursos de la ceremonia estuvieron a cargo de Hao Wang, cuyos libros sobre la filosofía de la lógica de Gödel siguen siendo esenciales, Hassler Whitney y Simon Kochen. Este último recordó que en el examen oral de su doctorado, otro gran lógico, Stephen Kleene, le preguntó el nombre de cinco teoremas de Gödel, cada uno de los cuales había dado inicio a una nueva rama de la lógica moderna: teoría de la demostración, teoría de modelos, teoría de la recursividad, teoría de conjuntos y teoría intuicionista. Todas estos territorios lógicos habían sido transformados o fundados por Gödel. Kochen comparó su obra, la obra del lógico más importante de todos los tiempos después de Aristóteles, o a su par, con la de Einstein, junto con Morgesntern, uno de sus grandes amigos, y estableció un paralelismo entre la obra de lógica austriaco y la narrativa de Kafka, sin saber Kochen en aquellos momentos que, efectivamente, Gödel había sido un admirador del escritor.
Ambos combinaban, apuntó Kochen en su discurso, una marcada inclinación legalista, normada, con una capacidad poderosísima para crear mundos autárquicos, para fundar universos que podían parecer a primera vista ilógicos o inconsistentes pero que, mirados con precisión, eran dura lógica en estado puro. La alargada sombra de Alicia en el país de las maravillas dejaba notar de nuevo su presencia.
Crucemos el pórtico con tres apuntes iniciales, una advertencia y recomendación. Primer apunte: si el lector no está muy versado en la importancia de la obra de Kurt Gödel puede abrir boca leyendo o releyendo la entrevista con Luis Vega Reñón que El viejo topo publicó en diciembre de 2006. Comprobarán que es un aperitivo excelente, y no dañino por lo demás. La segunda, una queja suave, muy suave, un susurro más bien: no se acaba de entender las razones que han movido al traductor o al editor castellano a alterar el título original del ensayo – Incompletud. La demostración y paradoja de Kurt Gödel– que, desde mi punto de vista, señala más correctamente la arteria aorta del libro de la filósofa y novelista Rebecca Goldstein, catedrática de filosofía en el Trinity College londinense, quien tuvo además la fortuna de conocer al propio Gödel cuando ella era estudiante de lógica en Estados Unidos (Sólo para mitómanos, como es mi caso en este caso: no se pierdan su encuentro con Richard Rorty, páginas 183-185, en el supermercado de Davidson donde el mismísimo Gödel estaba comprando congelados con su carrito).
Tercer apunte: esta vez sí, esta vez está justificado iniciar la lectura del libro mirando, no leyendo, contemplando la fotografía, la única del ensayo, de Einstein y Gödel paseando por el camino que iba de Fuld Hall a Olden Farm en Princeton, cuando ambos estaban trabajando en el Instituto de Estudios Avanzados. El final prolongado de Casablanca, peor mejor aún, vendrá a su memoria
La advertencia: es posible que en ocasiones, en contadas ocasiones, puedan pensar que el relato de Goldstein avanza poco, que crean que Goldstein se mueve lentamente hacia paisajes laterales, con disertaciones ajenas al campo de estudio. Tengan paciencia, den confianza a la autora y verán cómo no les defrauda.
Por lo demás, y sea dicho entre paréntesis, Goldstein es una excelente escritora y se nota. Las páginas iniciales de su Introducción -«Exiliados»- son una de las numerosas prueba de ello. Allí podrá leer, por cierto, que un profesor estadounidense, cuyo nombre la autora prudentemente oculta, ante la llegada a Princeton como refugiados de «mentes europeas privilegiadas» exclamó «Hitler sacude el árbol y yo recojo las manzanas». ¿Les suena una exclamación similar, tan espeluznante como ésta, dicha entre nosotros sobre asuntos ciertamente alejados?.
La recomendación, la arriesgada recomendación: el capítulo central del ensayo, el tercero, está dedicado a la primera prueba de incompletud gödeliana (págs. 131-182). La autora consigue algo enormemente difícil: presentarla sin apenas tecnicismos lógicos, discutiéndola filosóficamente de forma muy ayuda, sacándole todo el juego que permite una primera introducción al tema. Si el lector tiene aquí alguna dificultad y no logra vencerla, sáltese sin dudar el párrafo correspondiente. Podrá seguir la idea global del teorema, y sus corolarios filosóficos, sin haber seguido los pasos concretos de la demostración.
Este primer teorema de incompletud (¿Por qué «incompletitud»?) al que hacíamos referencia muestra cómo construir una proposición verdadera pero indemostrable para cualquier sistema formal que contenga la aritmética. Uno de los sueños de David Hilbert quedaba dañado con ello, la vieja idea euclidiana de equiparar verdad con demostración quedaba herida de muerte. La autora construye, como decía, una magnífica exposición didáctica de este resultado en las páginas 146-163 de este capítulo tercero. Cabe aquí dar cuenta del segundo teorema de incompletud para poder atisbar el alcance de algunos resultados gödelianos.
Este segundo teorema prueba que es imposible demostrar la coherencia, la consistencia, la ausencia de contradicción, de un sistema formal -de esto va el resultado gödeliano y no de otras temáticas, sistemas o teorías- que sea capaz de contener la teoría aritmética dentro del mismo sistema. Es consecuencia -ahora nos parece obvia, pero fue Von Neumann quien tuvo la agudeza de verlo, respondiéndole Gödel con un «es evidente»- del primer teorema.
El primer teorema adquiere forma condicional: si el sistema formal de la aritmética es consistente, entonces la proposición G es indemostrable. Supongamos que C representa el antecedente del condicional, la proposición: «el sistema formal de la aritmética es consistente». El primer teorema diría entonces: si C entonces G es indemostrable. Ahora bien, en términos aritméticos la proposición «G es indemostrable» es la proposición G. Entonces, el teorema afirmaría que C implica G, conclusión demostrada dentro del sistema formal de la aritmética.
Por absurdo: si pudiéramos entonces demostrar C -esto es, la consistencia de la aritmética dentro del sistema- quedaría demostrada G ya que se ha probado el condicional «si C entonces G» (si C entonces G y, además, C; conclusión, G). Pero puesto que hemos demostrado que G es indemostrable dentro del sistema, habríamos demostrado G. Luego entonces la única solución para evitar esta contradicción -la de que G es indemostrable y haber demostrado G- es afirmar que C, la consistencia de la aritmética, no es demostrable.
Parece un trabalenguas pero no lo es. El razonamiento es correcto. Este sería, pues, el segundo teorema de incompletud gödeliano, que no afirma que la coherencia del sistema formal de la aritmética sea imposible de demostrar de cualquier forma, sino sólo que un sistema formal que contenga la aritmética no puede probar por sí solo su propia coherencia.
Una importante tesis filosófica que defiende la autora y que recorre todo su ensayo es que el platonismo de Gödel, el antipositivismo de un autor que fue miembro activo del positivista Círculo de Viena, es básico para entender la génesis de su prueba y, al mismo tiempo, la aceptación filosófica de sus implicaciones por el propio Gödel. «A un platónico como Gödel, la demostración de la completitud de la lógica límpida, que es todo menos trivial, debió de plantearle la posibilidad de que hubiese proposiciones aritméticamente verdaderas pero imposibles de demostrar dentro de un sistema formal de la aritmética» (p. 137). Eso explicaría también la oposición de Wittgenstein, o su menosprecio o altivez ante este gran resultado lógico.
Hay otra perspectiva más biográfica, menos filosófica (o, mejor, más filosófica), que tampoco debería pasar desapercibida: el decisivo, el esencial papel que desempeñó la señora Adele Gödel en la vida de su marido. No fue secundario, en absoluto, para la vida de Kurt Gödel. Golsdstein ofrece numerosos detalles de ello a lo largo del ensayo.
Acompaña la autora su ensayo con un documentado capítulo de lecturas sugeridas, donde reconoce que, como tanta otra gente -este reseñador es otro ejemplo-, su primer contacto sustancial con los teoremas de incompletud tuvo lugar no estudiando el famoso artículo publicado en 1931, las veinte y pico de páginas de la famosa demostración que Gödel obtuvo cuando apenas tenía 23 años, y que presentó al año siguiente, en 1932, para alcanzar su habilitación como profesor universitario, sino leyendo un libro de divulgación lógica escrito por Ernest Nagel y James R Newman en 1968: El teorema de Gödel. Dice Goldstein justamente de él: «Es una exposición divulgativa que, no obstante, logra entrar en detalles en cuanto al meollo de la demostración. Me rompió los esquemas. Releyéndolo tantos años después, volvió a impresionarme. Es un librito maravilloso, un clásico a su manera» (p. 243). El lector interesado en este libro y en las aportaciones de Gödel puede estudiar «ese librito maravilloso» para completar la tarea. No hay riesgo de decepción.
Alan Lightman, el autor de aquellos no olvidados Sueños de Einstein, ha apuntado que el ensayo de Goldstein es un libro agudo, accesible y, por si fuera poco, maravillosamente bien escrito. Por mucho que me esfuerzo, no veo razones para contradecirle. Sé que no es la anterior una proposición demostrable pero sé también que es verdadera.