Presuposiciones sobre tortugas y asuntos no afines

Noether nació en Erlangen, en 1802, hija del matemático Max Noether, distinguido catedrático de la Universidad de su ciudad natal. Después de asistir ocho años a la Escuela Municipal Superior para Hijas, de Erlangen, Emmy pasó con excelentes notas los exámenes para maestros de francés e inglés. Con esta oposición, se la habilitaba para poder poder dar clases en cualquier institución femenina.

Noether no se conformó con ello. Deseaba seguir estudiando. Tal vez por sus relaciones familiares, pudo estudiar en la Universidad de Erlangen y en la de Göttingen, pero como oyente, ya que en aquellos años las mujeres seguían siendo personal no-admitido como estudiantes oficiales: el sesudo Senado de la Universidad de Erlangen había declarado en 1898 que la admisión de mujeres destrozaría todo orden académico.

Consiguientemente, pudo asistir a clase, pero no pudo examinarse hasta 1903, cuando la Universidad cambió sus estatutos. Obtuvo su doctorado en 1907 por su trabajo «Sistemas completos de invariantes para formas ternarias bicuadráticas», con la calificación de summa cum laude. Paul Goron fue su tutor.

Trabajó en el Instituto Matemático de Erlangen, sin ningún salario, ayudando a su padre, ya entonces muy mayor y desarrollando sus propios proyectos en el campo de las teoría de los invariantes algebraicos. En 1915, se trasladó a Gotinga reclamada por Hilbert y Klein, las grandes figuras de aquellos años de la matemática en Alemania. Su célebre teorema de 1918 sobre las relaciones entre invarianzas y leyes de conservación surgió de los intereses de Hilbert por la relatividad general einsteiniana.

El teorema que lleva su nombre -el teorema de Noether- es empleado en mecánica y teoría de campos. Pertenece al cálculo diferencial y pasó inadvertido en su momento. Goza actualmente de enorme prestigio entre los físicos de partículas [24] . El teorema basa en las propiedades de invariancia de las leyes del lagrangiano de un sistema, bajo la acción de ciertas transformaciones llamadas simetrías, las leyes de conservación a las que obedece dicho sistema, leyes de conservación llamadas también «principios» porque rigen en todas las leyes de la naturaleza. Así, el principio de conservación de la energía, el principio de la cantidad de movimiento o impulso de los cuerpos o el principio de conservación del momento cinético.

El principio de conservación de la energía en mecánica clásica, por ejemplo, enuncia que la energía total, la cinética y potencial de un sistema aislado, de un sistema que no intercambie energía con el exterior, es constante. Otros principios de conservación son el de la carga eléctrica, el del número bariónico o el del número leptónico. De forma general: si al principio de una reacción se cuentan ciertos números de entidades (cargas, bariones, leptones) al final se encontrarán las mismas cantidades.

El teorema de Noether funda los principios de conservación en la invariancia formal de las leyes de la física. En mecánica un sistema queda descrito por una función matemática que depende de sus coordenadas de posición y velocidad, así como del tiempo. Esta función se llama el lagrangiano del sistema y es igual a la diferencia entre la energía cinética y la potencial. La cuestión es: ¿qué leyes físicas son válidas aunque se cambie el sistema de coordenadas efectuando en él unas transformaciones llamadas, muy genéricamente, simetrías, como las traslaciones o rotaciones?

Este teorema presenta una correspondencia entre cada principio de conservación de una magnitud física (la energía, el impulso, la cantidad de movimiento) y una invariancia formal de las leyes de la física. Dicho de otro modo: para toda simetría continua (por ejemplo, una rotación espacial) del lagrangiano del sistema, hay una magnitud conservada a lo largo de la evolución del mismo. Las conclusiones más interesantes se obtienen en el caso de las transformaciones euclídeas, como las espaciales, las rotaciones o las temporales, es decir, en los casos en que la transformación no deforma los objetos. En estos casos simples, el teorema conduce a los siguientes resultados:

1. Cuando un lagrangiano es invariante simétrico, por traslación temporal, su expresión formal no cambia al variar la variable tiempo, con lo que la energía total de sistema se conserva durante el movimiento.

2. Si es invariante el sistema por traslación espacial, la magnitud conservada es el impulso.

3. Cuando es invariante por rotación, se conserva el momento cinético.

Aquí están los tres grandes principios de la física clásica: el de energía, que se basa en la invariancia del lagrangiano por traslación temporal; el de conservación del impulso mecánico, que se basa en la invariancia por traslación espacial, y el del momento cinético, que se funda en la invariancia por rotación. Como consecuencia de ello, la conservación de la energía remite a la constancia de las leyes de la física y, consiguientemente, a la uniformidad del tiempo; la conservación de la cantidad de movimiento, a la universalidad de las leyes físicas y, finalmente, la conservación del momento cinético a la isotropía.

A pesar de sus méritos indudables, Noether no consiguió ningún puesto académico en la Universidad de Gotinga. Ni siquiera pudo pasar la prueba de habilitación ya que, según la ordenación legal de 1908, ésta sólo podía ser concedida a los candidatos masculinos. Una protesta posterior ante el Ministerio de Cultura hizo que la ley fuese derogada. Cabe remarcar que, según testimonio de Hermann Weyl, fueron los mismos matemáticos e historiadores quienes más se opusieron a su nombramiento.

Acabada la primera Guerra Mundial, las cosas cambiaron un tanto. Emmy Noether pudo superar en 1919 la última prueba para conseguir su habilitación, que consistía en dar una conferencia. A partir de entonces pudo dar clases en la Universidad y recibir parte del dinero que pagaban sus estudiantes. En 1922, recibió un título académico que era un mero título sin obligaciones y sin salario. Posteriormente obtuvo un modesto Lehrauftrag (Encargo de Magisterio) para álgebra que llevaba asociado una pequeña remuneración. Así permaneció hasta 1933.

Siendo judía, la llegada del nazismo al poder complicó aún más su situación. En abril de este mismo año, se le retiró tanto su venia legendi como su Lehrauftrag y con ello su salario. Con la ayuda de Mawr en Pennsylvania y de Sommerville en Oxford, ambas colegas femeninas, pudo conseguir un trabajo, de un año académico de duración, en el Bryn Mawr College. En octubre de 1934, se exilió a Estados Unidos.

A partir de 1934 empezó a dar clases semanales en el Institut for Advanced Study de Princeton, no lejos del Bryn Mawr College, donde se le renovó de nuevo su contrato académico por un año. La suerte sin embargo, no la acompañó. En 1935, el 14 de abril, nuestro día republicano por excelencia, moría Emmy Noether en el Bryn Mawr Hospital como consecuencia de una operación que, aparentemente, no representaba peligro alguno.

Además del teorema que lleva su nombre y que algunos estudiantes y profesores atribuyen inconscientemente a un tal señor Noether, su influencia ha sido determinante en la creación de lo que ha sido llamado «álgebra moderna».

6. El viejo fantasma.

¿Qué les pasa a los hombres, qué les ha pasado desde el principio de los principios en su referencia a las mujeres? ¿Por qué han creído cumplir con ellas sólo a base de sus sonrisas de complicidad entre ellos, con sus engañosos paternalismos, con su rígida tozudez interior y su aparente generosidad al concederle siempre los segundos puestos en una historia que se ha hecho, escrito y vivido en común?

Carmen Alcalde

  Parece evidente la discriminación sexista a lo largo y ancho de la historia de las matemáticas. Obsérvese, por otra parte, que las mujeres matemáticas de las que hemos hablado tienen un determinado origen social. El padre de Kovalevsky, por ejemplo, era general de Artillería y el padre de Noether era Catedrático de la Universidad de Erlangen. Si una persona reunía, simultáneamente, las condiciones de ser mujer y tener otro origen social, entonces… lo mejor era apagar la luz, soñar en la oscuridad y adquirir tintes heroicos. No había otra posibilidad.

William Dunham pone un excelente ejemplo para dar cuenta de la situación [25] . Euler tuvo 13 hijos. Con más exactitud, fue «padre» de 13 hijos, de los que cinco sobrevivieron. Es obvio que alguien debía alimentarlos, vestirlos, limpiar su ropa y sus pañales, cuidarles, etc. La persona que hacía todas estas interminables tareas, como la lectora (e incluso el lector) habrá imaginado, no fue Euler. La pregunta que parece imponerse es:

¿Qué hubiera ocurrido si la situación hubiera sido la opuesta, si el zapato estuviera cambiado de pie? ¿Habrían triunfado en matemáticas las señoras Euler, Ramanujan o Erdös, si sus necesidades diarias hubieran sido resueltas por otra persona? ¿Habrían sido famosas estas mujeres si hubieran tenido cantidad de tiempo para dedicarse a la contemplación matemática? Nadie lo sabrá nunca. Pero ¿aparecerían más mujeres en los anales de las matemáticas si hubieran recibido la misma clase de apoyos que estos hombres? Indudablemente.

Este ha sido, sin duda, el pasado más reciente. ¿Qué puede conjeturarse de nuestro presente? Es obvio que muchas de esas barreras han sido derrumbadas. En la mayoría de las universidades no se impone a las mujeres el tipo de prohibiciones que se impuso a Germain o a Noether. Los datos, más bien, apuntan a un cierto optimismo. Dunham señala que en el curso académico 1990-1991, las instituciones universitarias norteamericanas concedieron 14.661 títulos de grado medio en matemáticas. De ellos, el 47%, 6.917, eran para mujeres. Esta situación era prácticamente inimaginable hace 40 años. Otra cosa sería preguntarse sobre la situación en otros países del mundo occidental y en países de otra situación geográfica y con otros esquemas culturales.

En el mismo año académico, en los grados avanzados, de nuevo según Dunham, los 2/5 de las licenciaturas y 1/5 de los doctorados en ciencias matemáticas fueron de mujeres. Con buen tino, el excelente conocedor de Euler señala que, como los futuros investigadores matemáticos y profesores universitarios salen de los estudios superiores, de licenciatura y de doctorado, la situación sigue obviamente desequilibrada

La situación puede explicarse apelando a razones históricas. Muchas mujeres han aspirado a un puesto de profesoras en la enseñanza preuniversitaria ¿Por qué negarse un puesto en la Universidad o en la investigación punta? Tal vez, apunta Dunham, porque la bajo autoestima fomentada durante siglos y siglos haya dejado y siga dejando huella. Los varones matemáticos tienen más colegas entre el gremio. Una mujer puede encontrarse bastante sola en el, en ocasiones, inhóspito mundo académico.

Esto en cuanto al tema de la discriminación sexista. Sobre otros puntos concernientes a la cuestión, como la tópica y repetida argumentación de que los chicos son más hábiles que las chicas para las matemáticas ya se han publicado numerosos trabajos de interés [26] . Queda el tema del sexismo ya no en cuanto a las posibilidades de acceder a cierto tipo de estudios, sino la discriminación implícita en el mismo quehacer científico. Pierre Thuillier, Evelyn Fox Keller y Brian Easlea [27] , entre muchas y muchos otros, se han referido reiteradamente a esta cuestión.

Hay, empero, otro sexismo más sibilino que acosa por doquier y ante el cual es bueno mantener la guardia vigilante. Douglas R. Hofstadter, refiriéndose a los personajes de su inolvidable (y no olvidado) Gödel, Escher, Bach: un Eterno y Grácil Bucle [28] , comentaba la siguiente anécdota:

A medida que iba escribiendo su suite gödeliana-bachiana se fue dando cuenta de que todos los personajes principales que había usado e inventado para sus diálogos eran masculinos: Zenón, el Cangrejo, El Oso Hormiguero, Sr. Perezoso, Locutor,… Consciente de la situación, Hofstadter intentó construir algún personaje femenino principal, pero le parecía que no había que hacerlo de forma demasiado artificial. Al final el personaje femenino, buscado y deseado, no fue encontrado.

Preguntándose él mismo por las razones de esa situación pensó que la clave estaba en el ensayo que le había servido de inspiración para su libro [29] . Se trataba del diálogo de Lewis Carroll, What the Tortoise said to Achilles [30] , en el que el autor de Alicia a través del espejo muestra de forma brillante e irónica la imposibilidad de pretender probarlo todo.

Satisfecho de su reflexión, Hofstadter quedó tranquilo. Pero, dos años más tarde, en la presentación de su libro, una lectora le interrogó por los motivos de la masculinidad de los personajes centrales. Hofstadter, mecánicamente, se dispuso a dar su respuesta: me inspiré en el diálogo de Carroll y allí los dos personajes son masculinos, Aquiles y el Sr. Tortuga… De golpe un relámpago estalló en su mente ¿por qué había pensado que the Tortoise era un personaje masculino?

Acudió al libro de Carroll y se enfrentó a la cruda realidad. El célebre lógico, el autor de las Alicias, no había asignado sexo alguno al personaje the Tortoise en ningún paso del diálogo. Fue Hofstadter quien presupuso su sexo, convirtiéndole en el Sr. Tortuga.

La lección es obvia: estemos vigilantes, el viejo fantasma del sexismo ataca constantemente, presentándose esta vez con redes muy sibilinas que hacen caer en sus trampas malignas al más pintado de los mortales, incluso a uno de los lógicos contemporáneos más brillantes y, por diferentes motivos, al mismísimo «maestro de los que saben». Se trata, en definitiva, de escuchar y de oír:

…y se llevarían grandes sorpresas si, modestamente, se sentaran a escuchar sus palabras. Se darían cuenta de que no estamos tan lejos los dos sexos como ellos suponen. Mas, para escuchar hay que dejar de pensar que uno es el rey del Universo. Y al igual que los monarcas sólo escuchaban de los bufones aquello que les complacía, la gran mayoría de los hombres tienen pavor a oír esa nueva palabra que va surgiendo lentamente de los infiernos: la palabra de la muje « [31]  

Anexo 2: Mujeres de ciencia

María José Casado Ruiz de Lóizaga, Las damas del laboratorio. Mujeres científicas en la historia. Debate, Madrid, 2006, 293 páginas. Prólogo de Margarita Salas.

Dava Sobel, Los planetas. Anagrama, Barcelona, 2006, traducción de Jaime Zulaika, 221 páginas.

La mayoría de los estudiantes de Ciencias Físicas de la Universidad de Barcelona de inicios de los setenta, incluidas probablemente las mismas estudiantes, dudábamos frecuentemente, a pesar de la inestimable ayuda del joven profesor Wagensberg, de nuestro grado de comprensión de l teorema de Noether -un resultado central en física teórica que afirma que a cada simetría continua le corresponde una ley de conservación física y viceversa-, pero no teníamos, en cambio, duda alguna de que el teorema debía su nombre a algún Herrn Noether que lo había descubierto en fecha desconocida. No cabía imaginarnos que su autor, el descubridor de un resultado básico de la big science, de uno de los temas punteros de las ciencias físicas, fuera mujer, fuese científica y que su nombre fuera Emmy Noether, una matemática alemana de origen judío que realizó sus investigaciones en las primeras décadas del siglo XX y que mediante su primera especialización en invariantes algebraicos consiguió demostrar algunos teoremas esenciales para la teoría de la relatividad que permitieron resolver entre otros el problema de la conservación de la energía.

Probablemente la situación sea muy distinta 30 años después y la mayor parte de estudiantes de ciencias físicas conoce que el teorema referenciado está en el haber de Frau Noether, no de Herrn Noether. Pero acaso aun queden restos de aquel naufragio cultural tan persistente, de aquellos prejuicios tan asentados. María José Casado Ruiz de Lóizaga, con Las damas del laboratorio. Mujeres científicas en la historia, a pesar de haber decidido no dedicar ningún capítulo específico a la eminente física alemana, pretende ayudar a superar de una vez por todas esta situación de olvido del papel que muchas mujeres, con dificultades casi inimaginables, y desde luego totalmente inadmisibles, han jugado en la historia de las ciencias. A título de simple ejemplificación: si no ando errado, a primera mujer doctora en ciencias fue Sonia Kovaleskaya, en 1874, con una tesis «Sobre la teoría de las ecuaciones en derivadas parciales», conocida actualmente como teorema Cauchy-Kovalevsky. Nadie antes de ella; finales del XIX.

Aunque no todas las científicas que en figuran en el volumen trabajaran o investigaran en laboratorios científicos, Las damas del laboratorio se centra en la vida y obra de diez importantes científicas: Hipatia, Émilie de Breteuil, María Andrea Casamayor y de la Coma , la única científica española incorporada, Mary Somerville, Ada Byron, Sonia Kovaleskaya, Marie Curie, Lise Meitner, Rosalind Franklin y Mary Douglas Leakey. Una sucinta presentación de sus principales aportaciones puede verse en las páginas 26-30 de la introducción.

La bioquímica Margarita Salas, una de nuestras actuales y más reconocidas científicas, señala en el entusiasta y generoso prólogo que ha escrito para la obra que «son muchas las mujeres, aún hoy desconocidas, que han desempeñado un papel relevante en la ciencia, y la referencia a estas mujeres, que tomaron parte en el desarrollo de numerosos especialidades científicas o médicas, data de hace unos cuatro mil años. Pero en la mayoría de los casos han sido mujeres invisibles, mujeres desconocidas» (p. 13). Las damas del laboratorio es un ensayo que, sin aportar nuevos descubrimientos en el ámbito de la historia de la ciencia, incluso manteniendo alguna conjeturas historiográficas de alta y discutible tensión, pretende dar a conocer a un público amplio las vidas y aportaciones básicas de estas aún, e injustamente, desconocidas mujeres de ciencia. Lo hace en general de forma correcta, documentada, abusando en alguna copia de «copiar y pegar», usando la bibliografía esencial y conocida de o sobre las autoras estudiadas, si bien en algún caso el detalle biográfico central o secundario (en los capítulos dedicados a Ada Byron y Sonia Kovaleskaya, por ejemplo) es en mi opinión excesivo y poco interesante y alguna referencia a las características físicas de la biografiada son prescindibles por inesenciales. Por lo demás, las referencias al contexto social y a las posiciones políticas algunas biografiadas podían haberse detallado algo más y con algo menos de prudencia cultural. Así, dicho sea desde luego en honor de John Desmond Bernal, es algo tópica este aproximación: «Rosalind [Franklin] admira a Bernal por su inteligencia y talento como investigador, aunque no comparta sus ideas de comunista militante. Por otra parte, Bernal no discriminaba a las mujeres, reconocía su trabajo y a su lado podían trabajar y promocionarse» (p. 225).

Pero no sólo hay historiadores o periodistas científicas que vindican su historia por motivos justificadísimos y con razones muy atendibles sino que hay además mujeres que juegan un papel básico en la creación y en la divulgación de la ciencia contemporánea. Éste segundo caso es el caso de Dava Sobel.

Sobel no es sólo la autora de Longitud o de La hija de Galileo, no sólo ha sido una reconocida periodista científica del New York Times, galardonada con el prestigioso Public Service Award del National Science Board, sino que en junio de 2006 alcanzó un privilegio por el que muchos hubiéramos peregrinado tenazmente a las tumbas de Bruno, Galileo o Servet: Sobel fue el único miembro no científico elegido para formar parte del Comité de Definición de los Planetas de la Unión Astronómica Internacional (UAI). El relato de su participación (págs. 185-187), y de lo allí discutido, es magnifico sin matices y es una excelente manera de empezar a degustar este precioso ensayo centrado además, un tema de rabiosa actualidad porque su actualidad es eterna: la nave Cassini ha enviado recientemente informaciones que han permitido a los científicos (y científicas) señalar que en una de las lunas del planeta de los anillos, en Titán concretamente, de relieve accidentado y temperaturas medias muy frías (-180oC), existen lagunas probablemente de metano líquido y allí debe haber lluvias torrenciales y tormentas. Christophe Sotin (Nantes, Francia) lo ha resumido así: «Por lo que sabemos, sólo hay un cuerpo del sistema planetario que muestre más dinamismo que Titán y su nombre es la Tierra «.

Los planetas está estructurado en doce capítulos, dedicados cada uno de ellos, aparte de la introducción, a los planetas de nuestro sistema solar, incluyendo en este debatido término no sólo a la Tierra (Geografía) sino también la Luna (Lunerías), el Sol (Génesis) y, claro está, Plutón (OVNI), que sigue siendo un planeta del sistema a pesar de la reciente discusión y las vacilaciones sobre los atributos del término (y a pesar, y quizás esto es lo peor, de que el oportunista y agente de la CIA Walt Disney se apoderara de su nombre para nombrar Pluto, el perro de la historieta cómica que presentó en 1936, el año de nuestra incivil guerra).

La exquisitez e información científica, popular, poética, narrativa, con la que está escrito todo el volumen señala otra vía de superación de aquel viejo y reconocido divorcio entre las dos culturas: no se trata sólo de aceptar de una vez por todas una evidencia tan elemental como que intentar ser culto, e intentar saber a qué atenerse, pasa también por adquirir una información científica básica, sino que es posible divulgar, instruir en temas científicas, de forma enormemente atractiva, con pulsión artística, sin perder rigor. Los planetas no sólo es un relato que permite acercarse a un tema científico como éste, presente en la filosofía, en la cultura humana desde siempre, sino que es, además, una narración elegante (con excelente traducción), bien trabada, muy pensada, que ilustra, agrada y conmueve a los lectores y donde se usan magistralmente diversos recursos literarios, con algún ligero exceso para mi gusto como en el caso de los numerosos poemas seleccionados.

Además del glosario, algo sucinto, la autora ha tenido la gentileza de incluir un apartado de «Curiosidades». No se lo pierdan. Allá podrán leer, entre otras, la siguiente anécdota: «Durante la Segunda Guerra Mundial, una escuadrilla de pilotos de B-29 confundió el planeta [Venus] con un avión japonés y trató de derribarlo» (p. 200). ¡A Venus!. Afortunadamente, en aquel intento, no lo consiguieron.

Anexo 3: En honor del espíritu humano y al servicio de otros asuntos

Antonio Martinón (editor-coordinador), Las matemáticas del siglo XX. Una mirada en 101 artículos (M XX). Nivola libros y ediciones y Sociedad canaria Isaac Newton de profesores de matemáticas, Madrid 2000, 524 páginas.

En 1947, en un célebre artículo titulado El futuro de las matemáticas, André Weil, hermano de Simone Weil, probablemente en un platónico día de huida celeste, apuntaba lo siguiente en torno al hacer matemático:

El matemático seguirá su camino en la seguridad de que podrá saciar su sed en las mismas fuentes del conocimiento, convencido de que éstas no cesarán de fluir, puras y abundantes, mientras que los demás habrán de recurrir a las aguas cenagosas de una sórdida realidad. Si se le reprochase al matemático la soberbia de su actitud, si se le reclamase su colaboración, si se le demandase porqué se recluye en los altos glaciares a los que nadie salvo los de su clase le puede seguir, él contestaría, con Jacobi: Por el honor del espíritu humano

.

Sin duda, Weil, André, tenía sus buenas razones para esta afirmación netamente espiritualista, pero no hay duda de que la matemática del siglo XX (o, si se prefiere, algunos matemáticos y sus quehaceres) ha descendido en frecuentes ocasiones del inmutable tercer y celeste mundo platónico-popperiano al terranal mundo de los fenómenos cambiantes y humanizados. M XX da cuenta de muchos de los momentos básicos, o no tan básicos, de la historia de la matemática de este pasado, cercano y neoliberal siglo. Lo hace a partir de 101 artículos de una extensión media de cinco páginas, escritos por 106 autores: desde matemáticos e historiadores de la talla de Jesús Hernández hasta filósofos o lógicos tan sólidos y competentes como Luis Vega Reñón.

Antonio Martinón, editor y colaborador del volumen, resume el contenido de M XX en su breve prólogo (pp. 9-10):»No se trata de una historia de las matemáticas y de su educación durante el siglo XX, pues no se ha pretendido describir el nacimiento y evolución de sus numerosas ramas, ni hacer la crónica de la evolución de su enseñanza, como tampoco referir de modo exhaustivo sus aplicaciones. Sí se ha querido mostrar lo que han sido a través de una amplia variedad de títulos y autores. Es decir, en estas páginas hay de todo aunque, desde luego, no está todo».

El destinatario de M XX es pues un público amplio formado, en su nudo central, por profesores y estudiantes de ciencias matemáticas (y afines) pero, también, por quienes son simplemente aficionados o personas con interés por esta ciencia. De ahí que se haya «intentado ofrecer una primera aproximación a los asuntos de los que aquí se trata, mediante artículos breves de carácter divulgativo».

Es cierto que no siempre el tono de los trabajos es estrictamente divulgativo, pero no hay duda de que los temas tratados son variados: desde artículos centrados en los fundamentos de la matemática hasta biografías de grandes autores (Alan Turing, D. Hilbert, Julio Rey Pastor) o asuntos relativos a la didáctica de esta disciplina, pasando por desarrollos recientes de esta ciencia.

Este ha sido, posiblemente, el siglo de las matemáticas (como casi todos los otros siglos, por cierto). Empezó con la propuesta de Hilbert y ha finalizado con uno de los descubrimientos que, desde luego, honran al espíritu humano: la demostración del último teorema de Fermat después de casi cuatro siglos de trabajo constante, minucioso y tenaz, que parecen poner en dificultades, como mínimo en el ámbito matemático, la tesis popperiana de la falsación, que no revolución, permanente como motor verdadero del hacer científico.

Un breve apunte sobre Fermat y su teorema. Cuando uno observa el papiro de Rhind en el museo Británico, topa con que ya los antiguos egipcios conocían ternas de números que nosotros llamamos «pitagóricos», números que como el 3, el 4 y el 5, tienen la característica de que la suma del cuadrado del primero más el cuadrado del segundo es igual al cuadrado del tercero. ¿Cuántas ternas de este tipo existen? Infinitas. Existe un algoritmo que va produciendo tantas ternas como deseemos. ¿Y qué ocurre cuando en lugar de hablar del cuadrado, pensamos en el cubo, en la cuarta potencia o en cualquier otro exponente mayor? ¿Existen ternas que mantengan esa igualdad’ ¿Cuántas? El abogado y matemático aficionado Pierre de Fermat en los inicios del siglo XVII dijo haber descubierto un teorema maravilloso sobre este asunto: no existe ninguna terna de números enteros que tengan la propiedad de que el cubo (o cualquier otro exponente entero superior a 2) del primero más el cubo del segundo sumen igual que el cubo de tercer elemento de la terna. Fermat dijo haber dado con la demostración pero advertía que no tenía espacio en el libro donde escribió la anotación ( la Aritmética , de Diofanto) para desarrollarla. No se ha encontrado tal demostración y durante casi cuatro siglos los matemáticos (y las matemáticas: recuérdese el caso de Sophie Germain) han intentado demostrar la conjetura fermatiana. El siglo XX se ha cerrado con la demostración del teorema por Andrew Wiles, quien ha descrito del modo siguiente la atmósfera de la investigación matemática: «Mi experiencia al hacer matemáticas es la de entrar en una mansión a oscuras. Entras en la primera habitación y está a oscuras, completamente a oscuras. Tropiezas con los muebles, te tambaleas. Poco a poco aprendes donde está cada mueble. Y finalmente, tras unos seis meses, encuentras el interruptor y das la luz. De repente todo se ilumina y puedes ver donde estás exactamente. Entonces entras en la siguiente habitación a oscuras…»

Pero no todas las contribuciones, digámoslo así, son estrictamente internalistas en el volumen que comentamos. El trabajo del filósofo, lógico y coeditor de los Elementos Luis Vega, que lleva por título «La bomba atómica», se inicia con buscados tonos bíblicos: «Si hay un acontecimiento que ha impactado la conciencia humana en el siglo XX de un modo transcendental han sido las explosiones de las llamadas bombas atómicas. El seis de agosto de 1945 la humanidad comprendió el alcance de la profecía del segundo jinete del Apocalipsis. El segundo sello se había abierto y la humanidad vio el resplandor del fin del mundo». A los 200.000 muertos directos de Hiroshima hay que sumar los 70.000 de Nagasaki. Pero, prosigue Vega, «en realidad, hubo suerte: el primer objetivo pensado por los norteamericanos era Kyoto, donde los daños en una ciudad de más de un millón de habitantes hubieran sido mucho mayores». Vega apunta que finalizado el milenio no parece que el conocimiento básico de la tragedia y de los futuribles desastres impregnen la conciencia social y concluye su breve pero excelente aportación de forma ilustrada y limpiamente antipostmodernista: «Es este conocimiento de la dimensión del problema el que debe, hoy, llevar a los científicos a encabezar movimientos destinados a hacer comprender a toda la población del planeta la actual situación. La ciencia, que ha demostrado sobradamente no ser un lujo cultural, no puede dejar de responsabilizarse de las consecuencias de sus actos. Y si, como dice la declaración fundacional de la UNESCO , la guerra surge de la conciencia de los hombres, es la educación en el horror nuclear el instrumento con el que debemos construir los baluartes de la Paz «.

En definitiva, estamos ante un excelente y variado volumen de cultura y divulgación matemática, acompañado además de excelentes ilustraciones (aunque no siempre, la de la página 94, por ejemplo, es simple y llana publicidad), con un cierto desorden ordenado que ayudará a las aproximaciones intermitentes del lector y con algunas intersecciones no vacías entre los diferentes trabajos que facilitarán, sin duda, la tarea si no del héroe como mínimo del lector tenaz.

El lector critico que merece este M XX puede apuntar que «siglo» no es tempo en matemáticas (ni, por otra parte, en muchos aspectos del saber y de la vida humana (o no humana)), pero no hay atisbo de incertidumbre que esta ha sido una de las centurias de las matemáticas. Por cierto, algunos de los problemas propuestos por Hilbert aún no han sido resuelto. Uno de ellos es la conjetura de Goldbach. Su enunciación es simple: todo número par es suma de dos números primos. Así, 24 es suma de 7 y 17. Nadie hasta ahora ha podido probarlo y todos los ejemplos parecen responder a la tesis del teorema. Hay premios sustanciosos. Así pues: ¡ánimo, mucho ánimo, y a por el Gold- bach!

Anexo 4: Del alma y sus números.

Pedro Miguel González Urbaneja, Pitágoras: el filósofo del número. Nivola Libros y ediciones, Madrid 2001, páginas 246.

En el año en que concelebramos el primer centenario del nacimiento de John Desmond Bernal, el inolvidable autor de Historia social de la ciencia, no estará demás recordar las palabras que el eminente científico marxista inglés dedicó al descubridor del más célebre teorema matemático de todos los tiempos: «Independientemente de que Pitágoras fuera un pensador o un mero transmisor, lo cierto es que la relación establecida por su escuela, entre las matemáticas, la ciencia y la filosofía, no se ha perdido nunca», afirmación que el mismísimo Bertrand Russell parecía corroborar en su Historia de la filosofía occidental de la forma siguiente: «No conozco ningún otro hombre que haya tenido mayor influencia en el campo del pensamiento, porque lo que aparece como platonismo resulta, después de analizarlo, esencialmente pitagorismo».

Hay pues motivos varios para aproximarse, siempre que sea posible, a la obra y vida de Pitágoras de Samos, uno de los más grandes filósofos presocráticos e inspirador o maestro de autores de la talla de Platón o Galileo, además de acuñador él mismo del término «filosofía», entendido como permanente (o ininterrumpida, si se prefiere) aspiración al saber, a todo tipo de saber, no sólo y desde luego a saber sobre el propio gremio filosófico.

El autor de este Pitágoras: el filósofo del número (P) es Pedro Miguel González Urbaneja (GU), un excelente profesor de matemáticas y un no menos competente historiador de las matemáticas de cuyo buen hacer teníamos muestras reiteradas en sus aproximaciones al método de los teoremas mecánicos de Arquímedes o en su excelente ensayo sobre Las raíces del cálculo infinitesimal en el siglo XVII (Madrid, 1992).

P. está compuesto de un prólogo de Antonio Pérez Sanz, alma de esta colección dedicada a la biografía intelectual de grandes matemáticos, y de ocho capítulos, más una breve cronología y una bibliografía sucinta. El primero de los capítulos nos introduce en el llamado «milagro griego»; el segundo traza una interesante biografía de Pitágoras y de la escuela-secta pitagórica, con especial atención a los Versos de Oro y a la teoría de la metempsicosis; el capítulo siguiente versa sobre el misticismo aritmético-geométrico de la escuela, dando detallada cuenta de los atributos de los elementos de la tetractys y de la clasificación pitagórica de los números; el cuarto capítulo narra con detalle el descubrimiento y la demostración del teorema «llamado de Pitágoras», con excelentes y documentadas alusiones a la historia del mismo y a su desarrollo previo y posterior en otras culturas; el capítulo quinto está dedicado a la divina proporción o sección áurea y al pentagrama pitagórico; el sexto, tal vez el que presente mayor dificultad de lectura para el lector no matemático, se centra en el importante asunto del surgimiento de las magnitudes inconmensurables; el siguiente capítulo nos acerca de forma excelente a la construcción y propiedades de los sólidos pitagórico-platónicos (proposición 18 del libro XIII de los Elementos de Euclides) y, finalmente, el último capítulo está dedicado al legado de Pitágoras y a la vigencia actual del pitagorismo.

Tal vez la principal virtud de este P. esté en el cuidado exquisito con que GU, a lo largo de todas las páginas del volumen, intenta, con resultados innegables, no perder al lector por tecnicismos matemáticos, sin que ello le impida dar cuenta de resultados y de demostraciones rigurosas. No es sólo eso. Sin duda hay muchos capítulos o apartados que merecen ser destacados. Por ejemplo, las excelentes páginas dedicadas a la relación entre pitagorismo y cristianismo (pp.72-75), la rigurosa y didáctica aproximación a los números perfectos y amigos (pp.103-110) o los no menos admirables apartados dedicados a los números poligonales (pp.111-128), a la música pitagórica o a la primera crisis de fundamentos en la historia de la matemática (pp.205-208).

Si se me pidiera un sola elección recomendaría, sin duda, iniciar la lectura del lbro por las páginas dedicadas a la cosmología pitagórica (pp.143-148), donde GU da cuenta de forma clara, distinta, didáctica y bella del apriorismo matemático pitagórico. Pero cabe, igualmente, señalar algunos puntos para la discusión:

1. En primer lugar, no parece que siempre las formulaciones filosóficas e históricas del autor tengan una precisión indiscutible. Así, al dar cuenta del llamado milagro griego, comenta que «El espíritu oriental, confuso y desordenado, dará paso a la ordenación lógica del conocimiento…» (p.19), ¿a qué unidad de pensamiento (oriental) se refiere el autor? ¿por qué confuso y desordenado? ¿Todo él?. O, por poner otro ejemplo menor, al referirse al Organon aristotélico, GU, extrañamente, suele usar la denominación «Lógica», acompañada, entre paréntesis, de «Analíticas».

2. GU cae, en contadísimas ocasiones sin duda, en tópicos superables. Así, hablando de la escuela-secta, escribe que «Los pitagóricos se regían por un código de conducta muy estricto que incluía la comunidad de bienes (comunismo integral) y un severo régimen físico y gastronómico…». ¿Por qué llamar al aspecto comunitario de la escuela de «comunismo integral»? ¿Cómo puede caracterizarse a este extraño invitado?

3. Cuestión menor, sin duda, pero parece una clara contradicción lo señalado por el presentador del volumen (Antonio Pérez Sanz): «(…) Y casi mil años antes de que Samos viera los primeros pasos de Pitágoras, los chinos ya habían demostrado su teorema» (p.12) y lo apuntado reiteradamente por el autor: no ha habido demostración del teorema previa a la que plausiblemente atribuimos a Pitágoras. Aún más: «(…) dando el gran salto cualitativo que iba a suponer el verdadero nacimiento en Grecia de las matemáticas como ciencia especulativa y deductiva, más allá de las práctica empírica e inductiva de las civilizaciones del próximo, medio y lejano oriente» (p. 24). Así pues no hay prueba previa del teorema dado que la misma idea de demostración, en alguno de sus múltiples sentidos, parece ser uno de los resultados del «milagro griego». Otra cosa es que civilizaciones distintas y en épocas anteriores, tuvieran conocimiento de resultados parciales o de casos concretos del teorema.

4. La bibliografía tiene algunas ausencias notables que prueban lo escasamente productivo de la incomunicación entre gremios. Así, el autor no cita, por ejemplo, el interesante y bastante reciente estudio de Gómez Pin sobre La tentación pitagórica, o el inolvidable estudio de Albert Dou sobre Fundamentos de la matemática o sobre los paralogismos de Euclides.

Igualmente se hubiera agradecido la indicación de referencias. La inexistencia de notas a pie de página, tal vez no decidida por el propio autor, impide o dificulta la contrastación de algunos de los textos citados.

5. Los libros de la colección «La matemática en sus personajes», donde hay auténticas joyas (William Dunham, Euler. El maestro de todos los matemáticos) y diamantes de menor entidad, presentan, en mi opinión, una estructura gráfico-anotacional que tal vez pretenda ser cautivadora y didáctica pero que, de hecho, dificulta un tanto la lectura atenta. Los volúmenes están llenos, repletos casi, de fotografías, reproducciones, esquemas y anotaciones (algunas de ellas, absolutamente insustanciales e inexactas -la dedicada a Platón, por ejemplo, p.26) que no sólo distraen permanentemente al lector, sino que, además, no se sabe muy bien qué aportan al texto principal ni incluso quién es el autor de las mismas. El maestro Quine comentó críticamente la existencia de ensayos bidimensionales en los que las notas a pie de página abarcaban más que el texto principal. ¡Nos imaginamos qué hubiera podido decir de una edición de este formato! Así, entre las páginas 25 y 36, pueden verse ocho ejemplos de estas peligrosas compañías. Se aconseja pues al lector que, tal Ulises encadenado, huya de esas sirenas que, además, presentan ocasionalmente una voz algo estridente.

Cabe recomendar sin duda la lectura de este P. para lectores con inclinaciones filosóficas o científicas, y, finalmente, destacar la, sin duda, exquisita honradez intelectual del autor. No es frecuente en estos parajes del intelecto que alguien tenga la grandeza y la modestia de advertir, agradeciendo las ayudas, que «la heterogénea dimensión lingüïstica del material bibliográfico consultado y mi insuficiente poliglotía me ha obligado a pedir auxilio a personas que con toda generosidad me lo han prestado…» (p. 18). Modestia y agradecimiento que, sugerimos, podría añadirse a las reglas de Oro del neopitagorismo actual.

[1] Aristóteles, Política. Editora Nacional, Madrid 1977.

[2] Wlliam Dunham, El mundo de las matemáticas. Editorial Pirámide, Madrid 1995, p. 389

[3] Morris Kline, El pensamiento matemático de la antigüedad hasta nuestros días, vol I, Alianza Universidad, Madrid, 1992, pp.179 y 246; Carl Sagan, Cosmos,  Planeta, Barcelona, 1980, pp.19 y 335-336 y Gillispie, Dictionary of Scientific Biography, vol. VI, pp.615-616, artículo firmado por Edna E. Kramer. Igualmente puede consultarse el excelente trabajo de A. W .Richeson, «Hypatia of Alexandria», National Mathematics Magazine, 15, nº 2, nov. 1940, pp.74-82. Véase, igualmente, anexo 1.

[4] Sobre las matemáticas griegas, puede verse el anexo 4.

[5] Véase anexo 1.

[6] La información sobre la muerte de Hipatia está descrita en la obra de Sócrates el Escolástico, historiador cristiano del siglo V. Véase Margaret Alic, El legado de Hipatia. Historia de las mujeres en la ciencia desde la Antigüedad hasta fines del siglo XIX, Siglo XXI, México, 1991, p. 62.

[7] Para una mayor información, véase anexo 2.

[8] Wlliam Dunham, Viaje a través de los genios, Editorial Pirámide, Madrid, 1992, pp.306-308 y Gillispie, Dictionary of Scientific Biography, vol V, pp.375-376. El artículo está firmado por Edna E. Kramer. Puede consultarse igualmente la excelente aproximacióm de H. Stupuy, «Notice sur la vie et les oeuvre de Sophie Germain», en Oeuvres philosophiques de Sophie Germain, París, 1879, pp. 1-92.

[9] Sobre el alcance del pensamiento matemático, v eáse el anexo 3.

[10] Pierre de Fermat, abogado y matemático francés, coetáneo de Descartes, consignó al margen de la Aritmética   de Diofanto la famosa enunciación de su célebre teorema: «Cubum autem in dues cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratosqudratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere, cujus rei demonstrationem mirabilem sane etexi. Hancs marinis exiguitis non caperet» (Un cubo no es nunca la suma de dos cubos, una potencia cuarta no es nunca la suma de dos potencias cuartas, y más generalmente, ninguna potencia superior a dos es suma de dos potencias análogas. De esta proposición he encontrado una semostración maravillosa, que no cabe en la estrechez de este margen). Fermat hizo numerosas anotaciones marginales en su ejemplar de la obra de Diofanto, en traducción latina de C. G. Bachet. Tras su muerte en 1665, su hijo publicó una segunda edición de la traducción de Bachet que incluía en un apéndice las notas marginales de Fermat, El libro de Diofanto se tradujo con el título Seis libos de aritmética y un libro sobre números poligonales, por Diofanto de Alejandría con comentarios del distinguido caballero Bechat y observaciones del Señor P. de Fermat, Senador de Tolosa» y «un nuevo descubrimiento de Doctrina Analítica, recopilada de diveras cartas del mismo señor de Fermat»

[11] Es fácil demostrar que si para un cierto n, por ejemplo el 13, no hay solución, es decir, no hay x, y, z que cumplan que la suma de la enésima potencia de x más la enésima potencia de y sea igual a la enésima potencia de z, entonces para todo múltiplo de 13, tampoco hay solución. De esta forma el teorema de Fermat se demostraría probándolo para n igual a 4 y para n igual a cualquier número primo, ya que todo otro número puede concebido como múltiplo de los anteriores.

[12] De hecho lo que Fermat demostró es que el área de un triángulo pitagórico no puede ser cuadrado perfecto de ningún número entero, es decir, que si x,y, y z son enteros positivos, tales que la suma de los cuadrados de los dos primeros es igual al cuadrado del tercero, entonces (1/2)x. y no es cuadrado de ningún número. Del anterior teorema se deduce, de forma relativamente sencilla, el teorema de Fermat para cundo n es igual a 4. Puede consultarse el documentado artículo de Harold M.Edwards. «Pierre de Fermat» en Grandes Matemáticos. Tema 1, Prensa Científica, S.A., Barcelona, 1995, pp.26-34.

[13] Una excelente historia de las vicisitudes de este teorema puede verse en Catherine Goldstein, «El teorema de Fermat», Mundo Científico, 146, vol.14, pp. 416-423

[14] Como es sabido Andrew Wiles, profesor de la Universidad de Princeton, consiguió una demostración del teorema (Andrew J. Wiles, «Modular Elliptic Curves and Fermat´s Last Theorem» en Annals of Matematics, vol 141, nº 3, pp. 443-551, mayo 1995). De hecho lo que Wiles estableció fue un esquema de demostración de la conjetura STW (Shimura-Tanuyama-Weil) para el caso de las curvas elípticas semiestables, caso particular de la conjetura STW que basta para probar el último teorema de Fermat. La correspondencia STW establece una correspondencia precisa entre el conjunto de las curvas elípticas y el conjunto de las funciones p «formas» llamadas modulares.

Por otra parte, la historia del último teorema de Fermat parece poner en dificultades concepiones metodológicas como la de Popper, como mínimo en lo que respecta a las ciencias matemáticas. Aquí lo que se ha tratado no es de falsar la conjetura de Fermat sino de probarla. Estos intentos probatorios, lejos de caer en el dogmatismo o en la defensa irracional de un enunciado o en el anquilosamiento del desarrollo científico, han supuesto un avance considerable del quehacer matemático. Lo esencial del espíritu científico no consistió en refutar sino en demostrar lo intuido.

[15] William Dunham, Viaje a través de los genios, Editorial Pirámide, Madrid, 1992,pp. 307-308.

[16]   Ibid. p. 308. Puede verse igualmente El legado de Hipatia, op. cit., pp. 177-178.

[17] Editada en París en 1826.

[18] W. Dunham, El universo de las matemáticas, op cit, 376-379, Jean Dieudonné, En honor del espíritu humano. Las matemáticas hoy, Alianza Universidad, Madrid, 1989, p. 356 y Gillispie, Dictionary of Scientific Biography, vol. VII, pp.477-480. El artículo está firmado por Edna E. Kramer. Singularmente puede consultarse P. Polubarinova-Kochina, Sophia Vasilyevna Kovalevskaya, Her Life and Work, traducción inglesa, P. Ludwick (Moscú, 1957)

[19] El legado de Hipatia, o. c., p.192

[20] «Zusätze und Bemerkungen zu Laplaces Untersuchungen über die Gestalt der Saturnsringe», Astronomische Nachrichten, 3 (1883), 37-48.

[21] El legado de Hipatia, o.c., p.199.

[22] «Sur le problème de la rotation d´un corps solide autour d´un point fixe», en Acta Mathematica, 12, (1889), 177-232

[23] Puede encontrarse información básica sobre Emmi Noether en José Manuel Sánchez Ron, El poder de la ciencia, Alianza editorial, Madrid, 1992, pp.193-196, Jean Dieudonné, En honor del espíritu humano. Las matemáticas hoy, Alianza Universidad, Madrid, 1989, p.360 y en Emmy Noether.A tribute to her life and work,  James W. Brewer y Marthe K.Smith, eds, Marcel Dekkler, Nueva York, 1981.

[24] Para este apartado puede consultarse el excelente artículo de Alain Boutot, «El poder creador de las matemáticas», en Mundo Científico, 98, enero 1990.

[25] William Dunham, El Universo de las Matemáticas, op cit, pp.383-384.

[26] J.Beckwith y J.Durkin, «Chicos, chicas y matemáticas», mientras tanto, 10, diciembre 1981, pp. 71-83.

[27] Pierre Thuillier, Las pasiones del conocimiento, Alianza Universidad, Madrid 1992, Tercera parte, pp.91-114 y Evelyn Fox Keller, Reflexiones sobre género y ciencia, Edicions Alfons el Magnànim, Valencia,1989.

[28] Existe una versión castellana debida a Mario A. Usabiaga y Alejandro López Rousseau., Tusquests, Barcelona, 1987.

[29] Douglas R. Hofstadter, «Las «presuposiciones tácitas» y sus efectos sobre el pensamiento y el estilo literario», Investigación y ciencia, 76, enero 1983, pp.106-111.

[30] Existe una versión castellana de What the Tortoise said to Achilles debida a Leopoldo Panero y recogida en Matemática demente, Tusquets, Barcelona 1980, pp. 217-224.

[31] Antonia Rodrigo. Mi fuente: Carmen Alcalde, Mujeres en el franquismo, Flor del Viento Ediciones, Barcelona, 1996, p. 95.