Italo Calvino en su libro «Por qué leer los clásicos» da una colección de razones, que él llama definiciones: «Un clásico es un libro que nunca termina de decir lo que tiene que decir» o «Toda lectura de un clásico es en realidad una relectura»… Cuando escribimos nos preguntamos si será entendible, si lo que […]
Italo Calvino en su libro «Por qué leer los clásicos» da una colección de razones, que él llama definiciones: «Un clásico es un libro que nunca termina de decir lo que tiene que decir» o «Toda lectura de un clásico es en realidad una relectura»…
Cuando escribimos nos preguntamos si será entendible, si lo que escribimos, en definitiva, tiene una única lectura. Si la lectura de los clásicos es una relectura, ¿no quiere esto decir que cada escritura puede tener muchas lecturas? ¿O quiere decir que nunca se llega a alcanzar con la lectura lo que de verdad quiere decir el escritor?
Cuando escribimos, ¿en qué orden deben aparecer los enunciados? ¿Hay algún orden que evite la ambigüedad? La escritura es secuencial, se escriben unas palabras tras otras, y se leen secuencialmente. Pero, ¿son la lectura y la escritura realmente secuenciales? ¿Es nuestro pensamiento secuencial? Porque si así fuese, ¿cómo es posible que cada lectura sea una relectura? Si cada lectura fuese secuencial cada una de ellas habría sido una lectura incompleta, y cada relectura sería en realidad una nueva lectura incompleta. Lo que Italo Calvino nos estaría diciendo entonces es que no sabemos leer.
Pero en realidad Italo Calvino dice que «la juventud comunica a la lectura, como a cualquier otra experiencia, un sabor particular y una particular importancia, mientras que en la madurez se aprecian (deberían apreciarse) muchos detalles, niveles y significados más.» Y más adelante dice que «si los libros siguen siendo los mismos (aunque también ellos cambian a la luz de una perspectiva histórica que se ha transformado), sin duda nosotros hemos cambiado y el encuentro es un acontecimiento totalmente nuevo».
Es el lector en su totalidad el que imprime sentido a su lectura, porque la lectura es en realidad un acontecimiento. Cada lectura es una lectura completa, pero es el lector el que dota de sentido a cada lectura. Esto es lo que entiendo que dice Italo Calvino. Naturalmente es discutible: yo haría muchas matizaciones, pero creo que no anda demasiado desencaminado.
Termino reescribiendo lo que dice Italo Calvino: «La lectura de un clásico debe depararnos cierta sorpresa en relación con la imagen que de él teníamos. Por eso nunca se recomendará bastante la lectura directa de los textos originales evitando en lo posible bibliografía crítica, comentarios, interpretaciones».
Me parecen muy claras esta recomendaciones, aunque Italo Calvino se refería a los clásicos de la literatura, como la Odisea de Homero, o como El Proceso de Kafka, ya que dice que «leyendo a Kafka no puedo menos que comprobar o rechazar la legitimidad del adjetivo «kafkiano» que escuchamos cada cuarto de hora aplicado a tuertas o a derechas».
Podríamos extender estas recomendaciones a los clásicos escritos por Marx y Engels. Esos adjetivos, esos prejuicios sólo pueden corregirse cuando se leen los libros, o cuando se leen las conclusiones de otros lectores que nos advierten de los prejuicios infundados, como hace Italo Calvino en su libro. Es razonable pedirle al que nos hace la advertencia que señale cuidadosamente cuáles son estos prejuicios. Por ejemplo no se puede comparar la obra de Marx con la de Stalin, en el sentido de decir que todos los comunistas son estalinistas. Esto es un prejuicio que ha alimentado un anticomunismo injustificado. A partir de este momento no nos queda más remedio que leer las obras de Marx sin mediadores.
1. Un ejemplo de lectura.
En [7] se dice:
«Por lo demás, el actual concepto matemático de infinito no tiene nada que ver con las estrellas ni con el universo. Un conjunto tiene cardinalidad infinita cuando puede ponerse en correspondencia biyectiva con una parte propia de si mismo.»
Así fue mi primera lectura: el actual concepto matemático de infinito viene definido por el de cardinalidad infinita.
Si esta lectura fuese incorrecta, algunas de las cosas que diga a cotinuación serán probablemente incorrectas.
(Estoy en todo esto admitiendo las correcciones a la imprecisiones, ya aclaradas en [14].)
Mi lectura continúa así: Y la definición de cardinalidad infinita es la dada en el caso escogido. A saber, «Un conjunto tiene cardinalidad infinita cuando puede ponerse en correspondencia biyectiva con una parte propia de si mismo.»
La clave de mi lectura está en la primera de ellas, que puede descomponerse en dos partes. 1. El concepto matemático de infinito se corresponde en la actualidad con el de cardinalidad infinita. 2. Este concepto viene dado por una definición, la de cardinalidad infinita.
La segunda lectura simplemente dice cuál es la definición de cardinalidad infinita, y en consecuencia nos remite a dos cuestiones. 3. ¿Es esa la definción de cardinalidad infinita? 4. ¿Es correcto decir que «Un conjunto tiene cardinalidad infinita cuando puede ponerse en correspondencia biyectiva con una parte propia de si mismo.»?
Supongamos que he hecho una lectura correcta, porque si no fuese así lo que diga a continuación puede ser incorrecto.
En este caso puedo afirmar que 1,2 y 3 son falsos, pero 4 es cierto. ¿Cómo puede ser esto? Porque, por un lado, 4. es cierto no como definición (ya que afirmo que 3. es falso) sino como teorema.
Si afirmo que 1. es falso (y como consecuencia también lo será 2.), es porque afirmo que la cardinalidad infinita de un conjuto no es el actual concepto matemático de infinito. Demostrar esto es largo pero puede entenderse por la vía de un razonamiento parecido al que suele llamarse de reducción al absurdo. Si fuese cierto 1. la Teoría de Conjuntos se colocaría en la jueza de todos los usos posibles que se hacen del infinito en matemáticas. Y esto es incorrecto, ya que hay otros usos como el de límite de una serie, como el de asíntota en geometría, o más sencillamente como el de número infinito de elementos de un conjunto. Si la cardinalidad de un conjunto es el número de elementos de un conjunto, averiguar cuál es el tamaño de un conjunto es previo al concepto de cardinalidad. Al decir «conjunto de infinitos elementos» ya estamos haciendo uso de alguna noción de infinito. Como ya señalé no es muy preciso decir «cardinalidad infinita» sino «cardinalidad de un conjunto de infinitos elementos». Cuando se llega a la conclusión, por la vía que sea, de que el tamaño de un conjunto es infinito, es cuando decimos que la cardinalidad de ese conjunto es infinita. La cardinalidad no es más que una caracterización, una especie de nombre que caracteriza el tamaño de un conjunto. ¿Cómo puede conocerse el tamaño de un conjunto? Hay una forma obvia: contando sus elementos, sin preocuparnos del orden en que aparezcan. Por ejemplo para saber el tamaño de un saco de peras, contamos las peras, una tras otra. Si hubiese cien peras diríamos que su tamaño es cien, y después diríamos que su cardinalidad o número cardinal es 100, no cien peras, sino simplemente 100. Contar peras es una «acción» que los humanos realizamos desde antiguo, mucho antes de que se inventara el concepto de cardinalidad. Enseguida nos damos cuenta de que contar el número de elementos de un conjunto inmenso, como el de estrellas en el firmamento es una tarea imposible. De hecho en la actualidad no se sabe cuántas estrellas hay en el universo; cada día se descubren nuevas estrellas. A los matemáticos modernos no les satisface el procedimiento de contar, sino que se preguntan ¿es posible saber cuál es el tamaño de un conjunto sin necesidad de contar? La respuesta es afirmativa, y la dió Cantor.
En «http://es.wikipedia.org/wiki/Infinito «, puede verse una explicación a estas cuestiones, pero debe prestarse atención a algunos detalles que no se dicen allí con la suficiente exactitud. Para corregir las inexactitudes hay que saber leer entre líneas, y para ello es mejor recurrir a libros de matemáticas sobre la Teoría de Conjuntos, más que a una enciclopedia. Yo tengo mucho respeto a esta enciclopedia, pero soy consciente de que no puede ni debe, y ni tan siquiera es su objetivo, convertirse en un libro de texto. Es lo que es, una enciclopedia. Voy a citar un libro casi de divulagación de matemáticas escrito en 1908 por un matemático muy conocido Félix Klein, «Matemática elemental desde un punto de vista superior» (ed. Nivola, 2006). Todavía no es un libro de texto para estudiantes universitarios de matemáticas, pero no pretende ser enciclopédico, aunque sí didáctico. Es un libro antiguo, pero me parece perfectamente recomedable no sólo para saber cosas de matemáticas sino para saber cómo entiende un matemático las matemáticas. El concepto de infinito en este libro es claramente un concepto conocido intuitivamente, y en consecuencia no hay ninguna definición. Se utiliza la expresión «conjuntos infinito» para referirse a conjutos de infinitos elementos sin más explicación.
En la referencia a Wikipedia se dice: Un conjunto A es infinito si exite un subconjunto propio B de A, tal que exite una biyección entre A y B.
Continúa: «La noción de cardinalidad de un conjunto, se basa en la noción anterior de biyección. De dos conjuntos entre los que se puede establecer una biyección se dice que tienen la misma cardinalidad.»
Esa noción de conjunto infinito dada en Wikipedia no es un definición de conjunto infinito, sino un teorema, o mejor dicho el corolario de un teorema que se demuestra utilizando una colección de definiciones previas. Se sabe que no es un teorema cuando este conjunto de definiciones no son suficientes para probar la proposición. Pero resulta que si definimos rigurosamente, qué es un subconjunto, qué es un subsonjunto propio, qué es una biyección (sería más correcto haber escrito «aplicación biyectiva»), puede demostrarse el siguiente teorema, y corolario.
Teorema. Un conjunto finito (de un número finito de elementos) no se puede poner en corresponencia (sería más preciso decir aplicación) biyectiva con un subconjunto propio.
Corolario del anterior teorema. Si un conjunto puede ponerse en correspondecia (sería más preciso decir aplicación) biyectiva con un subconjunto propio, entonces no puede tener un número finito de elementos, y en consecuencia tendrá un número infinito de elementos.
La demostración del teorema es casi trivial, haciendo uso de las definiciones exactas mencionadas antes. Para la demostración del corolario basta con saber que si P implica Q, se cumple también que la negación de Q implica la negación de P (a esta forma de razonar se la llama prueba indirecta o aplicación de la tautología Modus Tollendo Tollens), donde:
P: Un conjunto finito Q: no se puede poner en corresponencia (sería más preciso decir aplicación) biyectiva con un subconjunto propio.
no(Q): Si un conjunto se puede poner en corresponencia (sería más preciso decir aplicación) biyectiva con un subconjunto propio. no(P): un conjunto infinito
Este teorema fue la primera observación que hizo Cantor, dando lugar a la definición de cardinalidad. La aplicación del teorema es la forma de saber si un conjunto es infinito. Por ejemplo si se encuentra una aplicación biyectiva entre el conjunto de los números naturales N={1,2,3..} y el de un subconjunto propio, el conjunto de los números pares por ejemplo, P={2,4,6,…} puede deducirse que N es un conjunto infinito. La aplicación biyectiva más sencilla es: n en 2n, es decir, 1->2; 2->4; 3->6; etc. Es fácil demostrar utilizando el método de inducción que esta aplicación es biyectiva.
Quiero hacer notar que el método de inducción hace un uso implícito de la noción de infinito. Se supone que «n» puede tomar infinitos valores. En cierta forma el teorema es circular como ya observaron los matemáticos intuicionistas. Sin entrar en este interesante capítulo de la matemática intuicionista o constructivista, podemos darnos cuenta que el teorema es bastante estéril, ya que intuitivamente sabemos que los números naturales constan de infinitos elementos. Lo interesante del teorema es precisamente la noción de «aplicación biyectiva», puesto que a través de ella podemos comenzar a distinguir si hay infinitos de diferentes tamaños. De aquí surge la definición funcional o productiva de cardinalidad, que di en [13] y que sí es una definición y no un teorema. Nos permite saber por ejemplo si el intervalo real I=[0,1] tiene la misma cardinalidad que N. Cuando se puede demostrar que no puede encontrarse ninguna aplicación biyectiva entre N e I, lo que nos dice la definción es que tienen cardinalidades diferentes, es decir, que aunque ambos tengan infinitos elementos, sus infinitos son diferentes: el número de elementos de uno es mayor que el del otro. Vistas así las cosas es necesario distinguir de alguna manera ambos infinitos, y para ello se definen o inventan los llamados números cardinales transfinitos: alef-sub-0, alef-sub-1, etc.
Más que seguir hablando de estas cuestiones matemáticas quiero señalar nuevamente, que durante la escritura solemos ser bastante imprecisos, pero en mi opinión solamente cuando esto da lugar a confusiones que impidan la compresión de las ideas que se pretenden transmitir, es cuando merece la pena corregirlas. Con este escrito ya estamos a años luz de los contenidos del debate original. Es posible incluso que a pesar del cuidado que estoy poniendo sigan encontrándose en lo que escribo imprecisiones.
En el siguiente apartado doy una definición de cardinalidad que no necesita recurrir a contar elementos ni al uso de un teorema.
2. Un ejemplo de escritura.
En [13] escribí:
«La definición correcta de cardinalidad de un conjunto es: dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si se pueden poner en correpondencia biyectiva. Señalo que esta es la definición, por lo que debe distinguirse de los teoremas que se desprendan de ella. Utilizar un teorema como definción es un error garrafal en matemáticas, que por desgracia he visto en algunos libros de texto de ingeniería, e incluso de física teórica.»
Esta escritura responde a la anterior lectura, y contiene dos imprecisiones: 1ª Donde pongo «poner en correspondencia biyectiva» hubiese sido más correcto escribir «encontrar una aplicación biyectiva». En matemáticas hay una diferencia entre «correspondencia» y «aplicación» que ahora no voy a explicar. De hecho no hay una definición de «correspondencia biyectiva» sino de «correspondencia biunívoca», pero sí hay una de «aplicación biyectiva». Al utilizar el término «biyectiva» se sobreentiende que se tratará de una aplicación y no de una correspondencia, por lo que la confusión que pueda crear es menor. Si se hubiese dicho «correspondencia biunívoca» la definición que di sería claramente incorrecta, de aquí la necesidad de esta aclaración (En Wikipedia están bien explicadas ambas nociones, con ejemplos incluidos). 2ª. Sería más preciso haber escrito la palabra «funcional» en vez de «correcta».
Ya he señalado que si mi lectura fuese incorrecta, no podría cuestionar lo que se escribió en [7], pero espero al menos haber logrado transmitir la idea que subyace a estas cuestiones.
En [14] se dice que he cometido un error al escribir lo siguiente:
«b) Eso de «con una parte propia de si mismo», es incomprensible. No obstante puede interpretarse de dos maneras: i) «con un subconjunto propio», en cuyo caso la denifición de cardinalidad dada en [7] es falsa…»
Supongo que el error consiste en haber escrito la palabra «falsa». Sin embargo mi intención no era decir que 4. (del apartado anterior) es falso, sino otra cosa: que es una falsa definición, que no es una definición sino un teorema, como indico indirectamente dentro del mismo aparatado b).
Así surge un problema: el de lectura y el de escritura, del que no quiero exculparme. De esta manera corrijo el apartado b) de [13]:
«b) Eso de «con una parte propia de si mismo», es incomprensible. No obstante puede interpretarse de dos maneras: i) «con un subconjunto propio», en cuyo caso la definición de cardinalidad dada en [7] no es una definición sino un teorema. ii) En la teoría de conjuntos se define «el conjunto de las partes de un conjunto», que a veces se llama, «partes de un conjunto», como el conjunto de todos los subconjuntos de uno dado. No obstante esta segunda interpretación me parece muy rebuscada, y si fuese así estaría verdaderamente mal expresada en [7].»
«La definición funcional de cardinalidad de un conjunto es: dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si existe una aplicación biyectiva entre ambos. Señalo que esta es la definición, por lo que debe distinguirse de los teoremas que se desprendan de ella. Utilizar un teorema como definción es un error garrafal en matemáticas, que por desgracia he visto en algunos libros de texto de ingeniería, e incluso de física teórica.»
He substituído «correcta» por «funcional» como ya he señalado, porque realmente la definición de cardinal de un conjunto es su número de elementos, pero como también he indicado esta definición obliga o a contar o a hacer uso de algún teorema.
La definición no funcional de cardinalidad es: la cardinalidad de un conjunto A se define como su clase de equivalencia bajo la relación de equipotencialidad. Esta sí es una definición y no un teorema. La relación de equipontecialidad se define de la siguiente forma: dos conjuntos son equipotentes si tienen la misma cardinalidad, es decir, si existe una aplicación biyectiva entre ellos. Como se ve en la definición de cardinalidad se esta haciendo uso de la definición funcional de cardinalidad. Por último, la definición del concepto de clase de equivalencia es bastante más compleja, y no la voy a introducir aquí.
Esta sería la manera correcta de proceder matemáticamente a la hora de introducir un concepto: nunca utilizar teoremas, sino definiciones. Y el concepto del que estamos hablando no es el de infinito, sino el de cardinalidad de un conjunto.
3. En resumen.
Todo lo que digo en este artículo en relación a las matemáticas es en realidad más complejo. He dado estas explicaciones como meras indicaciones de que todos nos equivocamos, pero sobre todo porque no quiero perder el hilo del debate, mostrando con este escrito que para poder aplicar un método analítico exhaustivo siempre se hace necesario descomponer los textos, las frases, los enunciados, en partes cada vez menores, hasta un límite que termina haciendo perder la visión global, la idea que se intenta transmitir. Es por esto que digo que el análisis tiende a paralizar la acción, como en el ciempiés bailarín. Cabe también la pregunta ¿cuál es la unidad menor del análisis que evita que llegue a perderse el sentido de lo que se analiza? ¿El enunciado? ¿El concepto? ¿Las palabras? ¿O hay que realizar esta búsqueda en otra dirección hablando de acontecimiento? ¿O de mundo? ¿O de trasfondo?
Creo también que es importante interpretar los textos, que muchas veces consiste simplemente en hacerse la pregunta ¿qué habrá querido decir con esto un autor? Si se trata del anti-Dühring de Engels, me pregunto ¿por qué relaciona la negación de la negación con la diferencial? Si Engels no lo ha dicho explícitamente es posible que sea porque para él es autoevidente, es decir que no ve necesario dar una explicación del por qué, sino limitarse a establecer la relación. Si esta lectura fuese correcta habría que preguntarse, ¿por qué es autoevidente? ¿Se desprende de su filosofía? En mi opinión la respuesta a esto último es afirmativa, ya que la representación científica por excelencia de la física son las ecuaciones diferenciales y Engels pretendía probar que la dialéctica materialista, que hace uso principalmente de la lógica, es a su vez una ciencia, o al menos pretende serlo. Para mi surgen una buena colección de preguntas. Una de ellas es que si la naturaleza se describe mediante ecuaciones diferenciales, y lo seres vivos somos parte de la naturaleza, la producción humana -si bien la llamamos artificial y no natural- no puede dejar de verse como siendo en algún sentido natural. Y la lógica es una producción humana, luego debería poderse describir mediante ecuaciones diferenciales. También las ecuaciones diferenciales son una producción humana por lo que el problema que subyace se vuelve realmente complejo. Engels no pretendió, que yo sepa, aclarar estas cuestiones, pero en la actualidad las preguntas me parecen legítimas, aunque reconozco que alguien podría decirme a la manera wittgensteiniana: lo que dices es un falso problema. A mí no me lo parece, más bien me parece que subyace un problema de autoreferencialidad: ¿puede escapar de ella la ciencia? ¿O será preciso inventar otra ciencia? Por el momento estas cuestiones sólo las entendemos a través de la Filosofía.
Eduardo Galeano nos demuestra que el silencio también es una forma de hablar, en «La paradoja andante» (http://www.sinpermiso.info/textos/index.php?id=1593 ),
«Cada día, leyendo los diarios, asisto a una clase de historia. Los diarios me enseñan por lo que dicen y por lo que callan. La historia es una paradoja andante. La contradicción le mueve las piernas. Quizá por eso sus silencios dicen más que sus palabras y con frecuencia sus palabras revelan, mintiendo, la verdad.»
Referencias.
[1] (Crítica a «Razón y Revolución» de Alan Woods y Ted Grant) La ciencia mal-tratada (http://www.rebelion.org/docs/60179.pdf ) Manuel Martínez Llaneza
[2] (Crítica a «La ciencia mal-tratada» de Manuel Martínez Llaneza) Del «análisis» de casos a la ocultación de los principios (http://www.rebelion.org/noticia.php?id=60228 ) Félix Monasterio-Huelin Maciá (09-12-2007)
[3] Crítica de la crítica precipitada (http://www.rebelion.org/noticia.php?id=60241 ) Salvador López Arnal (10-12-2007)
[4] Más críticas a una crítica muy precipitada (http://www.rebelion.org/noticia.php?id=60329 ) Salvador López Arnal (11-12-2007)
[5] Confesiones al hilo de una crítica chismosa (http://www.rebelion.org/noticia.php?id=60450 ) Manuel Martínez Llaneza (14-12-2007)
[6] Entre barcos a la deriva, una deriva entre barcos. Reivindicación de la síntesis. (http://www.rebelion.org/noticia.php?id=60500 ) Félix Monasterio-Huelin Maciá (15-12-07)
[7] Cinco consideraciones y una coda final con tres compases irritados. (http://www.rebelion.org/noticia.php?id=60548 ) Salvador López Arnal (16-12-07)
[8] La inanición de Gödel, y los unicornios azules. (http://www.rebelion.org/noticia.php?id=60800 ) Juan Hurtado (21-12-07)
[9] Las palabras, los conceptos y sus dueños. (http://www.rebelion.org/noticia.php?id=60851 ) Salvador López Arnal (22-12-07)
[10] Doctrinarios y barcos a la deriva. (http://www.rebelion.org/noticia.php?id=60934 ) Ricardo Rodríguez (23-12-07)
[11] Un matiz sobre cosmovisiones. (http://www.rebelion.org/noticia.php?id=60949 ) Salvador López Arnal (24-12-07)
[12] La posición de Sacristán (en la polémica sobre ciencia y marxismo) Inversión, dialéctica y métodos. (http://www.rebelion.org/noticia.php?id=60997 ) Salvador López Arnal (25-12-07)
[13] Avistando puertos que no le dan la espalda a la mar. (http://www.rebelion.org/noticia.php?id=61138 ) Félix Monasterio-Huelin Maciá (29-12-2007)
[14] Precisiones que intentan no dar la espalda (http://www.rebelion.org/noticia.php?id=61182 ) Salvador López Arnal (30-12-2007)