Primer ejemplo, una ilustración de la concepción platónico-galileana, la intensa y significativa relación entre la matemática, su lenguaje, sus resultados y la naturaleza, que tomo de un libro enorme: Georges Ifrah, Historia universal de las cifras. La inteligencia de la Humanidad contada por los números y el cálculo, Espasa Calpe, Madrid, 1997 (p. 35). La […]
Primer ejemplo, una ilustración de la concepción platónico-galileana, la intensa y significativa relación entre la matemática, su lenguaje, sus resultados y la naturaleza, que tomo de un libro enorme: Georges Ifrah, Historia universal de las cifras. La inteligencia de la Humanidad contada por los números y el cálculo, Espasa Calpe, Madrid, 1997 (p. 35).
La avispa solitaria es un insecto cuya conducta puede sorprendernos a primera vista (y en quinta mirada). La avispa madre deposita cada uno de los sus huevos en un agujero distinto y los provee de cierto número de orugas vivas, de las que se alimenta su prole al eclosionar. Hasta aquí nada, casi nada o poco para nuestro tema. Pero resulta que el número de esas orugas es notablemente constante para cada especie de avispas: algunas ponen cinco (y ponen siempre cinco), otras ponen doce, otras llegan hasta veinticinco por celdilla. No cometen errores: cinco, doce, veinticinco, sin cambios, constantemente, no seis, siete o cinco dependiendo del viento, del azar o de la «suerte».
Hay más, hay más sorpresas. Existe una especie llamada Genus eumenus, una variedad de avispas en la que el macho es más pequeño que la hembra. Por «algún misterioso instinto», o por las razones que sean, la madre siempre sabe -¿sabe?- si tal huevo producirá un macho o una hembra y, en consecuencia, provee el agujero de alimento. No modifica ni la especie ni el tamaño de las orugas, pero si ella «sabe» que el huevo es de un macho pondrá siempre cinco y si es hembra pondrá diez. Sin errores, sin equivocaciones. Cinco, diez, macho, hembra. ¿Automatismos del instinto? ¿Ya está y a otra cosa? Probablemente…
Segundo ejemplo: los pitagóricos dividieron los números naturales en tres grupos: excesivos, defectuosos y perfectos. Un número es excesivo si sus divisores propios (el propio número no vale) sumados dan un resultado mayor que el número; defectuosos si la suma era menor y perfectos si coincidía. 12, por ejemplo, es excesivo: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 es mayor que 12; 1 + 2 + 4, los divisores propios de 8, suma 7, menor que 8, que es, por tanto, número defectuoso. 1 + 2 + 3, los divisores de 6, suman el propio número, el primer número perfecto. Los griegos supieron de la existencia de cuatro de ellos: 6, 28, 496, 8128.
El quinto perfecto (33.550.336, descubierto muchos siglos después) tiene 8 dígitos, contradiciendo la primera suposición de que debía tener, siguiendo «la lógica anterior», cinco cifras (el primero, una cifra; el segundo, dos; el tercero, tres; el cuarto, cuatro). El sexto es el 8.589.869.056. El perfecto más grande descubierto hasta el momento es la potencia de 2 elevado a 74.207.280 multiplicada por la siguiente potencia de 2 menos 1. El número perfecto del que estamos hablando tiene… ¡44.677.235 cifras! Un libro escrito, con una letra de 12pt y sin espacios, podría alcanzar unas 36.000 páginas para dar cuenta de todas sus cifras.
Un grandioso teorema acompañó desde un primero momento –Elementos, Euclides- el papel de estos números: si la suma de las sucesivas potencia de 2, empezando por 2 a la cero (que es 1), era un número primo (3 o 7 por ejemplo, se les llama primos de Mersenne), el producto de esa suma por el último de los sumandos -por la última potencia de la serie- generaba un número perfecto.
Euler, muchos siglos después, completó el teorema: todos los números perfectos pares se generan a partir de la fórmula que descubrió Euclides o que éste mostró y demostró en sus Elementos.
Desconocemos, seguimos desconociendo, si el número de perfectos es finito o infinito e ignoramos también si existe algún perfecto que sea impar (aunque existen demostraciones más que interesantes que limitan grandemente esa posibilidad). Hasta ahora hemos descubierto 49, no hemos llegado al medio centenar. Entre el 4º y el 5º pasaron 18 siglos; desde 1900 hemos descubierto 40. Los perfectos y los primos de Mersenne se usan en temas de encriptación.
Si ninguna de estas ilustraciones matemáticas les dice algo, los dos libros referenciados no son sus libros. Ni seguramente esta reseña es su reseña. Déjenlo aquí..
Pero si les ha picado la curiosidad, si no les he aburrido o les ha interesado en algún momento, empiecen por el primero de ambos, acaso el más asequible. Algunos nudos delicados o un poco más difíciles se sitúan al final, en anexos o en demostraciones. Lo demás no presenta dificultades. En el capítulo VII, por ejemplo, se nos explica «¿Para qué sirven los números primos?». Una de las demostraciones más hermosas (y simples) de la historia de las matemáticas y de la ciencia en general, la no finitud de los primos (su infinitud actual en las concepciones matemáticas dominantes), se puede leer, reconstruida, en las páginas 137-138. También, con alguna dificultad añadida, el pequeño teorema de Fermat.
Hablando de Pierre de Fermat… El segundo libro es una aproximación a la demostración de su gran conjetura, una de las grandes aventuras del espíritu humano como diría Jean Dieudonné, un desafió matemático que ha durado, con nervios finales incluidos, más de tres siglos y medio, hasta que a finales del siglo XX Andrew Wiles, un matemático británico, lo consiguió. El capítulo VI del libro -«La prueba»- nos acerca en la medida de lo posible a la demostración de esta conjetura fermatiana que puede presentarse en estos términos: existen infinidad de ternas pitagóricas tipo <3,4,5>, de tal forma que el cuadrado del primer número más el del segundo suman igual que el cuadrado del tercero. Infinitas; existen algoritmos que las generan. En el museo Británico, en la parte expoliada a Egipto (cosa que afortunadamente no ha ocurrido con la primera inscripción del 0 que permanece en un museo de Camboya), pueden verse dos o tres ejemplos en el papiro de Rhind. Pero ¿qué pasa si en lugar de calcular el cuadrado pensamos en el cubo o en cualquier otra potencia superior? ¿Cuántas ternas hay en este caso? La respuesta: no existe ninguna terna. Tanto da que el exponente sea el 3, el 4, el 5 o cualquier otro entero positivo. No existe ninguna terna de naturales que tengan esta característica. Fue ésta la conjetura de Fermat, el abogado-matemático coetáneo de Descartes. En un libro de Diofanto que estudiaba anotó que no tenía espacio suficiente para dar cuenta de la maravillosa demostración que había descubierto. Hemos tardado más de 350 años en dar con ella.
Por cierto, uno de los mejores grafitis (estación de metro de Nueva York, 1998) de los que tengo información (página 123 del segundo libro): «xⁿ + yⁿ = zⁿ: no hay soluciones. He descubierto una prueba en verdad maravillosa de esto… pero mi tren está al llegar y no me da tiempo de escribirla». Me digo: se me debería haber ocurrido… y respondo: pero nunca se me ocurrió.
National Geographic, Barcelona, 2016, 143 páginas
National Geopraphic, Barcelona, 2015, 144 páginas
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